5. Матрицы и действия с ними. Свойства операций над матрицами.

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Матрицы допускают следующие алгебраические операции:

• сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

• умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);

• умножение матрицы на число

Действия над матрицами

Сложение матриц:

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов.

С = А + В

c_ij = a_ij + b_ij

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.

В = k × A

b_ij = k × a_ij.

Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А;

2. А + (В + С) = (А + В) + С;

3. А + 0 = А;

4. А - А = 0;

5. 1 × А = А;

6. α × (А + В) = αА + αВ;

7. (α + β) × А = αА + βА;

8. α × (βА) = (αβ) × А;

, где А, В и С - матрицы, α и β - числа.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А_m×n на матрицу В_n×p, называется матрица С_m×p такая, что

с_ik = a_i1 × b_1k + a_i2 × b_2k + ... + a_in × b_nk,

т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А × (В × С) = (А × В) × С;

2. А × (В + С) = АВ + АС;

3. (А + В) × С = АС + ВС;

4. α × (АВ) = (αА) × В;

5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;

6. (АВ)^Т = В^ТА^Т;

7. (АВС)^Т = С^ТВ^ТА^Т;

8. (А + В)^Т = А^Т + В^Т;