- •Система линейных уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса.
- •Определители 2-го и 3-го порядков, их свойства
- •Определители n-го порядка и их свойства
- •Матрицы и действия с ними. Свойства операций над матрицами.
- •Билет 6. Обратная матрица и способы ее нахождения
- •Билет 7. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.
- •Билет 8. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств r2 и r1
- •Билет 9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора, угол между векторами.
- •Билет 10. Линейно зависимые и линейно не зависимые системы векторов.
Билет 6. Обратная матрица и способы ее нахождения
Обра́тная ма́трица — такая матрица (А-1), что их умножение (с любой стороны) даст в результате единичную матрицу
Свойства обратной матрицы
, где обозначает определитель.
для любых двух обратимых матриц и .
где обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента .
Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Способы нахождения обратной матрицы
Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной
(АǀЕ) ̴ (ЕǀА-1)
Пример. С помощью элементарных преобразований строк найти обратную матрицу к матрице A.
Определитель равен –2, следовательно существует обратная матрица. Припишем к исходной матрице единичную, и будем преобразовывать матрицу A, к виду единичной матрицы. Тогда единичная матрица преобразуется в обратную к матрице A.
Нахождение обратной матрицы по формуле:
Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы Решение. Находим определитель Так как то матрица А - невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения: Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке: Полученная матрица и служит ответом к задаче.
Билет 7. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.
АХ=В
Умножим на А-1 обе части уравнения
А-1 * А * Х = А-1 *В
ЕХ = А-1В
Х = А-1В
5х1 + 10х2 = 4
3х1 – х2 = 1
А ;
В = ;
Х =
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и оно единственно)
Билет 8. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств r2 и r1
Вектором называется направленный отрезок.
Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. 1. Сумма векторов и находится по правилу треугольника или по правилу параллелограмма
— эти правила равносильны.
Сложение векторов коммутативно и ассоциативно:
2. Разность векторов можно определить как сумму , т. е. вычитание заменяется прибавлением противоположного вектора. Удобно также правило треугольника: векторы и откладывают от общего начала, тогда разность есть вектор, начало которого совпадает с концом , а конец — с концом 3. Произведением (или ) вектора на действительное число λ называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и то же направление, что и вектор , если λ > 0, и направление, противоположное направлению вектора , если λ < 0. Так, например, есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор (рис. 108). В случае, когда λ = 0 или , произведение представляет собой нулевой вектор.
Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на λ = -1: . Очевидно, что .
Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rn.
Геометрический смысл имеют лишь пространства R1, R2, R3 . Для R1 – это прямая, для R2 – плоскость, для R3 – трехмерное пространство.