- •Система линейных уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса.
- •Определители 2-го и 3-го порядков, их свойства
- •Определители n-го порядка и их свойства
- •Матрицы и действия с ними. Свойства операций над матрицами.
- •Билет 6. Обратная матрица и способы ее нахождения
- •Билет 7. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.
- •Билет 8. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств r2 и r1
- •Билет 9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора, угол между векторами.
- •Билет 10. Линейно зависимые и линейно не зависимые системы векторов.
Билет 9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора, угол между векторами.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению полагают равным 0.
* = ǀ ǀ*ǀ ǀ*cosɕ, где ɕ - угол между векторами и
Свойства скалярного произведения.
Свойство перестановочности сомножителей
а ̅ * b ̅ = b ̅ * а ̅
Свойство сочетательности относительно умножения на число
(ƛ а ̅)* b ̅ = ƛ (а ̅* b ̅)
Свойство распределительности суммы вектором
* ( * )= * + *
* = ǀ ǀ2
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается ǀ ǀ или ǀ ǀ
Длина вектора на плоскости вычисляется по следующей формуле:
ǀ
Длина вектора в трехмерном пространстве вычисляется по следующей формуле:
ǀ
Формула длины вектора в n-мерном пространстве:
Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.
Билет 10. Линейно зависимые и линейно не зависимые системы векторов.
Пусть имеем векторное пространство V и систему векторов A={ } (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Вектор называется линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры , то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и ). Если хотя б один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной.
Определение 1: система векторов A называется линейно-независимой, если только тривиальная линейная комбинация векторов системы равна , (т.е. )
Определение 2: система векторов A называется линейно-зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная .