Аппроксимация различными сплайнами

Рис.2. Сплайн шестой степени.

На большей части кривой данный метод даёт приемлемый результат, однако в некоторых местах возникают точки разрыва, кроме того в самом начале возникает ложный локальный экстремум, а начальный участок представляет собой наиболее ценную для получения дальнейшей ФРРА информацию. Данное явление заметно снижается при повышении степени сплайна, однако эффект сглаживания так же ослабляется.

Рис.3. Сплайн двадцатой степени.

Рис.4. Виден ложный пик при малых углах.

Сглаживание методом скользящего среднего

В методе скользящего среднего исходные данные y_i сглаживаются по следующему правилу:

, где 2N + 1 - число точек, выбираемых для сглаживания, т.е. слева и справа от текущей точки выбирается по N точек. Данные, расположенные в точках, близких к границам отрезка, не сглаживаются, т.к. не хватает точек справа или слева от текущей, в которой в данный момент производится сглаживание. В нашем случае увеличение числа N означает более сильное сглаживание кривой и, вместе с тем, потерю высокочастотной информации. Кроме того, при N близких к 200 возникает побочный эффект – некоторое смещение точек локальных экстремумов.

Рис 5. N=25. Всё ещё достаточно сильны колебания.

Рис.6: N=95.

Рис.7:N=195. Наблюдается небольшое смещение точек экстремума.

Взвешенная локальная регрессия

При сглаживании с помощью взвешенной локальной регрессии для каждого сглаживаемого значения данных, заданного в точке, выбирается набор из фиксированного числа рядом расположенных точек, каждой из которых назначается вес по следующей формуле:

, где d(x_k) - расстояние от x_k до наиболее удаленной точки из набора. Т.е. наибольший вес (равный единице) будет у y_k, а наименьший (равный нулю) у данных, расположенных на границах набора. Затем, в зависимости от выбранного метода делается либо линейная, либо квадратичная регрессия.

В целом, линейная регрессия обладает большим сглаживающим эффектом, однако более точно экстремумы соблюдаются при квадратичной регрессии:

Рис.8: Линейная регрессия, N=95

Рис.9: Квадратичная регрессия, N=95.

Фильтр Савицкого-Голея

В фильтре Савицкого-Голея степень полинома, применяемого для локальной регрессии, может быть выше, чем в предыдущем способе сглаживания, при этом выполняется невзвешенная локальная регрессия. Число соседних данных (задаваемое в строке ввода Span) для сглаживания в точке должно быть нечетное, а степень полинома (задаваемая в строке ввода Degree) меньше, чем число соседних данных.

Этот способ фильтрации хорошо подходит для зашумленных сигналов, в которых при сглаживании требуется сохранить высокие частоты. При повышении степени полинома, применяемого в локальной регрессии, лучше воспроизводятся узкие и высокие пики, что и явилось определяющим фактором в выборе его в качестве метода сглаживания экспериментальных данных.

Рис.10: Фильтр Савицкого-Голея, число точек N=195, степень полинома 1. Некоторые экстремумы недостаточно точно обработаны.

Рис.11: Фильтр Савицкого-Голея, число точек N=195, степень полинома 3. Экстремумы достаточно точно обработаны.

В качестве рабочего метода сглаживания был выбран фильтр Савицкого-Голея, так как он обеспечивает наилучшую обработку локальных экстремумов, сглаживание начальной части кривой интенсивности и достаточно точно отражает колебания при больших значениях угла.