Формула Маклорена

При :

,

;

Для - многочлена порядка :

,

значит, любой многочлен порядка можно представить в виде многочлена по степеням .

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

5.

Частный случай :

- формула бинома Ньютона.

Приближенное значение функций:

,

, где - погрешность.

пп 12. Теоретические Упражнения
ТУ ПП 12 №1	Представьте функцию в виде многочлена третьей степени относительно . Решение: По формуле Маклорена получаем: , где .
ТУ ПП 12 №2	Выяснить происхождение приближенных равенств а) ; б) . Решение: Равенства получаются из разложения функции по формуле Маклорена с точностью до слагаемых второго порядка:
ТУ ПП 12 №3	Функция непрерывна, имеет на концах отрезка [-1,1] равные значения (проверьте!). Какова причина нарушения теоремы Ролля? Решение: Д ля функции по определению не существует , так как , .
пп 12. Дифференциал
ПП 12. №1.	Найдите дифференциал функции при произвольном значении аргумента и при произвольном его приращении . РЕШЕНИЕ: , .
ПП 12. №2.	Найдите дифференциал 2-го порядка функции . РЕШЕНИЕ: . .
ПП 12. №3.	Найдите дифференциал неявно заданной функции . РЕШЕНИЕ: Дифференцируем равенство: , откуда .
ПП 12. №4.	Вычислите приближенное значение с помощью дифференциала. Решение: Рассмотрим функцию . Полагая и применяя формулу , получаем	0,513
ПП 12. №5.	Вычислите приближенно . Решение: Пусть , где . Тогда ; . Применим формулу ; ; ; . Тогда .	1,9938
ПП 12. №6.	Вычислите приближенно значение объема шара радиуса м. Решение: Так как , то, полагая, , и используя формулу для , получаем .	443

Замечание. Здесь некоторые задачи ПП № 9 решены с помощью правила Лопиталя.

пп 12. пРАВИЛО лОПИТАЛЯ
ПП 12. №7.	Раскройте неопределенность вида . Решение: .	0
ПП 12. №8.	Вычислите предел функции Решение: . .
ПП 12. №9.	Вычислите предел функции Решение:	0
ПП 12. №10.	Вычислите предел функции Решение: .	4
ПП 12. №11.	Вычислите предел функции Решение: .	1
ПП 12. №12.	Вычислите предел функции Решение: .
ПП 12. №13.	Вычислите предел функции Решение:
ПП 12. №14.	Вычислите предел функции Решение:
ПП 12. №15.	Раскройте неопределенность вида при вычислении предела последовательности: Решение:	1
ПП 12. №16.	Раскройте неопределенность типа . Решение: (Здесь правило Лопиталя применялось дважды).
ПП 12. №17.	Раскройте неопределенность типа
ПП 12. №18.	Вычислите предел . Решение: Имеем неопределенность типа . . Исследуем . Таким образом, исходный предел .
ПП 12. №19.	Вычислите предел: . Решение: Предел является неопределенностью типа . Преобразуем: . Дважды применяем правило Лопиталя. .
ПП 12. №20.	Вычислите . Решение: Имеем неопределенность типа .P Тогда .	1
ПП 12. №21.	Вычислите предел . Решение: Это неопределенность вида . Положим ; логарифмируем: Применяя правило Лопиталя, получим: . Таким образом, .	1

пп 12. фОРМУЛА ТЕЙЛОРА
ПП 12. №22.	Многочлен разложите по степеням . Решение: ; ; . Найдем коэффициенты многочлена Тейлора: Учитывая, что ; ; , получим .
ПП 12. №23.	Запишите формулу Маклорена n – го порядка для функции . Решение: ; ; .
ПП 12. №24.	Используя формулы Маклорена для элементарных функций, напишите первые n членов формулы Маклорена для функции . Решение: Преобразуем исходную функцию: Окончательно: .
ПП 12. №25.	Вычислите число e с точностью до 0,001. Решение: Запишем формулу Маклорена для eP^x^P: . При : . Наименьшее значение , удовлетворяющее условию , равно 6,			2,718
ПП 12. №26.	Вычислите с точностью до 10P^– 3^P приближенное значение . Решение: Представим заданный корень так: . Воспользуемся формулой Маклорена: где последнее слагаемое представляет собой погрешность вычисления. Полагая получим . Оценивая величины последовательных ошибок в вычислении , находим: Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку RB2B, т.е. .		3,072
ПП 12. №27.	Используя разложение по формуле Маклорена, вычислите предел Решение: ; C точностью до бесконечно малых о получаем: . Заменим его разложением по формуле Маклорена: о , тогда Поскольку ~ при . Окончательно .