- •§ 3. Случайные величины
- •3.1. Определение и классификация случайных величин
- •3.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.2.1. Табличный способ задания дискретной случайной величины.
- •3.2.2. Графический способ задания дискретной случайной величины.
- •3.3. Непрерывная случайная величина. Интегральная функция распределения и ее свойства.
- •Свойства интегральной функции распределения
- •3.4. Дифференциальная функция распределения или плотность распределения вероятности. Свойства дифференциальной функции распределения
- •Свойства дифференциальной функции распределения
- •3.5. Действия над случайными величинами
- •Умножение случайной величины на число.
- •Возведение случайной величины в степень.
- •Функции одной случайной величины
- •Сумма, разность, произведение случайных величин.
- •3.6. Вопросы и задания для самопроверки
Функции одной случайной величины
Определение. Функцией одной случайной величины называется случайная величина , которая принимает значения с вероятностями .
Если закон распределения случайной величины задан таблицей 1, то закон распределения случайной величины можно записать в виде:
Таблица 8.
|
|
|
... |
|
|
|
|
… |
|
Пример 3. Закон распределения случайной величины задан таблицей 9:
Таблица 9.
-
0,2
0,7
0,1
Найти закон распределения случайной величины .
Решение. Возможными значениями случайной величины являются
; ; .
Так как случайной величины принимает значение , если случайная величина примет значения или , причем события и несовместны, то по теореме сложения находим
= .
Вероятность события совпадает с вероятностью события .
Поэтому закон распределения случайной величины можно записать в виде таблицы 10
Таблица 10.
-
0,5
1
0,9
0,1
Сумма, разность, произведение случайных величин.
Пусть заданы законы распределения двух дискретных случайных величин: случайная величина принимает значения с вероятностями , а случайная величина принимает значения с вероятностями .
Определение. Две случайных величины и называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Если случайные величины и независимы, то независимы любые события и , а поэтому
,
если случайные величины и зависимы, то
.
Примером двух независимых величин могут служить – размер выигрыша
в одной лотерее, а – размер выигрыша в другой.
Аналогично определяется независимость событий , ,..., .
Определение. Случайные величины , ,..., называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не изменяется в зависимости от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины.
Будем в дальнейшем рассматривать только независимые случайные величины и .
Определение. Суммой двух случайных величин и называется случайная величина , возможными значениями которой являются допустимые суммы , а вероятности этих значений находятся по формуле
.
Аналогично определяются такие действия как разность и произведение двух случайных величин.
Определение. Разностью (произведением) двух случайных величин и называется случайная величина , возможными значениями которой являются допустимые разности (произведения ), а вероятности этих значений находятся по формуле
.
Введенные операции над случайными величинами можно обобщить на любое конечное количество случайных величин.
Пример 1. Заданы законы распределения двух дискретных случайных величин.
Таблица 11. Таблица 12.
|
1 |
3 |
5 |
|
|
0 |
3 |
|
0,1 |
0,3 |
0,6 |
|
|
0,2 |
0,8 |
Найти закон распределения случайной величины .
Решение. Пользуясь определением произведения случайных величин, находим
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
0,06 |
0,12 |
0,08 |
0,24 |
0,48 |
Запишем закон распределения случайной величины так, чтобы каждое значение входило в таблицу один раз, и значения в таблице были расположены в порядке возрастания
Таблица 13.
|
0 |
3 |
9 |
15 |
|
0,2 |
0,08 |
0,24 |
0,48 |
Найдем теперь закон распределения (таблица 14), а затем закон распределения (таблица 15):
Таблица 14. Таблица 15.
|
0 |
9 |
|
|
0 |
27 |
|
0,2 |
0,8 |
|
|
0,2 |
0,8 |
Рассматривая законы распределения случайных величин (таблица 13) и (таблица 15) находим закон распределения случайной величины с помощью правила сложения двух случайных величин
Таблица 16.
|
0 |
3 |
9 |
15 |
27 |
30 |
36 |
42 |
|
|
0,04 |
0,016 |
0,048 |
0,096 |
0,16 |
0,064 |
0,192 |
0,384 |
|