Задача 4.

Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой

продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

Решение: Обозначим через А событие - «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H₁ - «лампочка поступила с первого завода». H₂ - «лампочка поступила со второго завода». Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно p(H₁)= =0,25; p(H₂)= =0,75.

Условная вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом – p(A/H₁)= =0,05, вторым заводом - p(A/H₂)= =0,10 искомую вероятность того, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности

р(А) = P(H₁)· p(A/H₁)+P(H₂)·(A/H₂)=0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875

Ответ: р(А) = 0,0875.

Для решения задачи 5 см. [5]глава 6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава 8 § J—3.

Задача 5.

Задан закон распределения дискретной случайной величены X:

X	-4	-2	0	2	4	6	8
	0,05	p	0,12	0,23	0,32	0,14	0,04

Найти:

а) неизвестную вероятность р.

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение σ данной случайной величины;

в) функцию распределения и построить её график;

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

Решение:

а) так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение

0,05-p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.

Отсюда р+0,9 = 1 и р=0,1.

б) Математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:

М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 + 4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5.

Дисперсия

=(-4)·0.05+(-2)²·0,1+0²·0,12+2²·0,23+4²·0,32+6²·0,14+8²·0,04-(2,5)²=

=0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59

Среднее квадратическое отклонение σ = = ≈2,9.

Если

Если

Если

Если

Если

Если

Если

Если

Итак, функция распределения может быть записана так:

График этой функции приведен на рисунке:

г) Сначала найдем значения случайной величины .

По условиям задачи

Поэтому

Составим таблицу вида:

Y	7	3	-1	3	7	11	15
	0,05	0,1	0,12	0,23	0,32	0,14	0,04

Чтобы получить закон распределения случайной величины необходимо:

1. рассмотреть её значения;

2. сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы.

Итак, закон распределения случайной величины :

Y	-1	3	7	11	15
P	0,12	0,33	0,37	0,14	0,04

Для решения задачи 6 см. [5] глава 5, § 2, § 3.