Короткі відомості з теорії Основні поняття

Якщо {an} – числова послідовність, то послідовність {Sn}:

S1 = a1 ;	S1 = a1 ;
S2 = a1 + a2	S2 = S1 + a2 ;
….	….
Sn = = a1 + a2+…. +an	Sn = Sn-1 + an

називають послідовністю часткових (кінцевих) сум (нескінченного) ряду, який позначають

a1 + a2+…. +an або

a_n називають загальним членом ряду.

Нескінченний ряд, побудований з функціональної послідовності {_n(x)}

₁(x)+₂(x)+… +_n(x)+ …,

називається функціональним рядом.

Розміри кінцевих сум можуть визначатися кількістю членів (задане n), що враховуються, або необхідною точністю (задане ε). В останньому випадку додавання нових членів слід припинити, якщо | an | < ε Процедура обчислення кінцевих сум заснована на методі ітерацій (методі послідовних наближень).

Для скорочення часу рахунку при обчисленні членів ряду рекомендується користуватися рекурентними співвідношеннями, тобто черговий член ряду виражається через попередній.

Приклад 1

Отримати рекурентне співвідношення для членів ряду:

, n – - й член функціонального ряду ;

, (n+1) – й член функціонального ряду ;

– відношення ( n + 1) -го члена до n-го ;

– рекурентне співвідношення між членами ряду.

Приклад 2

Обчислити sin(), використовуючи його представлення кінцевою сумою ряду

де n = 15.

Рекомендація : обчислення sin() організувати таким чином.

Крок 1. Привласнити S = , а = , n = 1.

()2

Крок 2. Привласнити а = - а -------------,

2n (2n + 1)

S = S + а, n = n +1.

Крок 3. Перевірити умову n  15. Якщо умова виконується, повернутися до кроку 2, інакше вважати обчислення sin() завершеним, тобто sin()= S.

Варіанти блок-схеми представлені на малюнках 1.а, 1.б.

Приклад 3

Обчислити cos(), використовуючи його представлення кінцевою сумою ряду

із заданою точністю ε^

Рекомендація : обчислення cos() організувати таким чином.

Крок 1. Привласнити S = , а = , n = 1.

()2

Крок 2. Привласнити а = - а -------------, S = S + а, n = n +1.

2n (2n - 1)

Крок 3. Перевірити умову | а | > ε. Якщо воно виконується, повернутися до кроку 2, інакше вважати обчислення cos() завершеним, тобто cos()= S.

Варіанти блок-схем представлені на малюнках 2.а, 2.б.

Приклад 4.

Обчислення S=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+...1/n! , за допомогою пакету MathCAD.

n=10	ε^ Summa(2)=2.718

Рис.1

Рис.2