Приклад 2

Обчислення кореня рівняння на відрізку [0,1] за допомогою пакету MathCAD.

Метод дихотомії	Метод хорд

Індивідуальне завдання 3 Інтерполяція функцій

Мета завдання – закріплення теоретичного матеріалу та придбання практичних навиків, складання алгоритмів наближеного відновлення функції (апроксимація) в довільній крапці за експериментальними даними із застосуванням алгебраїчних багаточленів першої, другої та

(N-1) -ої степені.

Порядок виконання завдання

1. Варіанти індивідуальних завдань приведені в табл. 3.1

Перший пункт завдання потребує:

1. відновлення функціональної залежності по двом експериментальним крапкам, з застосуванням інтерполяційного багаточлена, представленого в одній з своїх форм, без допомоги ЕОМ;

2. обчислення значення функції у заданій крапці;

3. представлення результату графічно.

Другий пункт завдання потребує:

1. відновлення функціональної залежності по трьом експериментальним крапкам, на основі інтерполяційного багаточлена, що має форму, вказану в завданні, без допомоги ЕОМ;

2. обчислення значення функції у заданій крапці;

3. представлення результату графічно.

Скласти алгоритм і написати програму на алгоритмічній мові або в системі MathCad для обчислення значення функції в заданій крапці Результат представити графічно і у вигляді чисельного значення.

Оформити звіт і представити до захисту.

Таблиця 3.1.

Варіанти індивідуального завдання 3

№ п/п	№ завдання	Функція y(x)									Значення функції		Форма багато-члена
1	2	3									4		5
1	1		1	-6							y(4)		Ньютона
			7	-2
	2		-5	1	7						y(5.5)		Лагранжа
			0	-3	10
	3		1.5	2	2.5	3	3.5	4.0	4.5			y(3.55)	Ньютона
			-3.56	-4.3	-5.8	-4.95	-5.75	-6.15	-8.45

Продовження табл.. 3.1

1	2		3																					4		5
2	1			-1		6																		y(3)		Лагранжа
				7		-2
	2			-3		1		5																y(4)		Ньютона
				6		-2		2
	3			4.5		5		5.5		6		6.5				7			7.5						y(6.55)	Кубічний сплайн
				-1.56		-2.48		-3.75		-4.81		-5.16				-6.35			-7.16
3	1			-1		2																		y(1)		Лагранжа
				3		10
	2			-2		1		4																y(3)		Кубічний сплайн
				-1		2		-2
Продовження табл.. 3.1
1	2		3																					4		5
3	3			10		11		12		13			14		15			16		17				y(11.55)		Ньютона
				3.7		4.5		5.9		6.1			7.8		8.5			9.4		10.5
4	1			-3	2																			y(0)		Ньютона
				-1	5
	2			1	3		6																	y(4)		Кубічний сплайн
				2	-3		-2
	3			1.2	2.6		9.8		4.5		5.1			7.0			8.9							y(6.2)		Лагранжа
				15.86	11.56		9.31		8.57		6.41			9.98			10.37

Продовження табл.. 3.1

1	2	3															4	5
5	1		-1	5													y(3)	Ньютона
			5	-1
	2		1	-2	-5												y(-3.5)	Лагранжа
			5	-1	3
	3		2.6	3.7	4.8	5.9			5.9	6.0		7.1		8.2			y(6.5)	Лагранжа
			1.36	2.78	3.46	4.58			4.58	5.37		6.91		7.87
6	1		0	5													y(3)	Лагранжа
			3	-1
	2		2	4	6												y(5)	Ньютона
			4	-2	3
Продовження табл.. 3.1
1	2	3															4	5
6	3		1	10	19		28	37			46						y(20)	Кубічний сплайн
			9	6.5	4.1		2.7	1.5			0.9
7	1		0	1													y(0.5)	Лагранжа
			-10	2
	2		1	3	5												y(2)	Кубічний сплайн
			-5	1	0
	3		10	15	17		20	25			29		32				y(22)	Лагранжа
			12.1	19.8	25.3		29.7	32.4			36.5		40.1

Продовження табл.. 3.1

1	2	3									4	5
8	1		-1	2							y(1)	Ньютона
			-5	7
	2		-2	0	2						y(1.5)	Лагранжа
			-5	1	-6
	3		1.35	1.4	1.45	1.5	1.55	16	1.65		y(1.53)	Кубічний сплайн
			4.162	4.256	4.353	4.455	4.562	4.673	4.754
9	1		0	-3							y(-2)	Лагранжа
			5	-10
	2		-1	1	3						y(2)	Лагранжа
			5	0	10

Продовження табл.. 3.1

1	2	3									4	5
9	3		1	5	9	13	17	21			y(11.5)	Ньютона
			5.67	6.48	7.31	8.29	9.56	10.47
10	1		1	5							y(4)	Ньютона
			-6	10
	2		0	3	5						y(5)	Лагранжа
			5	0	10
	3		3	5	7	9	11	13			y(1.775)	Кубічний сплайн
			21.7	28.3	38.7	41.4	55.9	61.8
11	1		-5	7							y(4)	Ньютона
			-3	1

Продовження табл.. 3.1

1	2	3								4	5
11	2		0	3	7					y(5.5)	Ньютона
			4	-1	1
	3		1.55	1.66	1.77	1.88	1.99	2.10		y(1.775)	Лагранжа
			5.48	6.59	7.36	8.45	9.17	10.49
12	1		-1	3						y(2)	Лагранжа
			7	-2
	2		-2	1	4					y(3)	Лагранжа
			-1	4	-1
	3		1	2	3	4	5.98	6		y(4.5)	Ньютона
			5.7	6.9	7.4	8.1	9.8	10.5

Продовження табл.. 3.1

1	2		3										4		5
13	1			5	7							y(6)		Лагранжа
				-1	10
	2			-3	0	3						y(2.5)		Лагранжа
				-10	2	-15
	3			1.35	1.46	1.57	1.68	1.79	1.8	1.94		y(1.85)		Кубічний сплайн
				3.96	4.58	6.77	8.96	7.56	9.48	8.54
14	1			-1	3							y(2)		Ньютона
				0	5
	2			-1	2	5						y(3)		Лагранжа
				0	-1	1

Продовження табл.. 3.1

1	2	3													4	5
14	3		1.37	2.72	7.41	9.85			11.72		15.48		19.74		y(8.5)	Кубічний сплайн
			18.327	21.472	29.781	32.674			34.283		40.172		43.298
15	1		-2	3											y(1)	Лагранжа
			-1	5
	2		1	3	7										y(5)	Ньютона
			-1	3	5
	3		2.5	3.6	4.7		5.8	6.9		8					y(6.5)	Ньютона
			11.6	12.45	13.57		4.61	15.32		16.21
16	1		4	8											y(6)	Лагранжа
			-2	6

Продовження табл.. 3.1

1	2	3															4	5
16	2		-2	2	6												y(0)	Ньютона
			7	-6	9
	3		2	2.5	3		3.5	4			4.5	5			5.5		y(2.36)	Лагранжа
			1.38	2.35	3.48		4.57	5.86			6.47	7.98			8.36
17	1		2	7													y(5)	Лагранжа
			10	-5
	2		-2	0	2												y(-1)	Лагранжа
			6	4	12
	3		0	0.1	0.2	0.3			0.4	0.5			0.6				y(3.55)	Ньютона
			0	10	4	2			1.5	2			5

Продовження табл.. 3.1

1	2	3									4	5
18	1		-3	5							y(2)	Ньютона
			4	8
	2		0	4	8						y(5)	Ньютона
			-2	8	-3
	3		-1	8	0	0.5	1	1.5	2		y(0.25)	Лагранжа
			0	-0.5	4.7	5.4	6.3	7.1	8.3
19	1		-5	1							y(-3)	Ньютона
			-3	5
	2		3	6	9						y(7.5)	Лагранжа
			-2	2	-5

Продовження табл.. 3.1

1	2		3																						4			5
19	3					3.5			4.6			5.7				6.8		7.9			9		10.1		y(6.5)			Лагранжа
						3.45			-4.48			-5.96				-6.71		-7.35			-8.26		-9.31
20	1					5			-2																y(3)			Ньютона
						8			-10
	2					0			3				6												y(4)			Лагранжа
						2			-3				6
	3			1				10			18			29			40		51	60		73					y(15)	Ньютона
				19				16.5			14.1			12.7			11.5		5.1	-4.6		-15.8
21	1				2		6																			y(4.5)			Лагранжа
					1		-1

Продовження табл.. 3.1

1	2		3								4	5
21	2			1	3	7					y(5)	Ньютона
				-1	3	-2
	3			1.335	1.340	1.345	1.350	1.355	1.360		y(1.353)	Кубічний сплайн
				4.162	4.256	4.353	4.455	4.562	4.673
22	1			-1	4						y(2)	Лагранжа
				3	6
	2			-2	1	6					y(4)	Лагранжа
				4	-1	7
	3			1	10	18	29	40	51	60	y(21)	Кубічний сплайн
				9	6.5	4.1	2.7	1.5	0.9	-1.3

Продовження табл.. 3.1

1	2		3														4	5
23	1			1		5										y(4)		Ньютона
				2		-1
	2			-1		3		7								y(5)		Кубічний сплайн
				1		2		2
	3				10		15		20		25	30	35	40			y(27)	Ньютона
					12.1		19.8		25.3		29.7	32.4	36.9	40.1
24	1				2		-5										y(-4)	Лагранжа
					1		-1
	2				-7		-5		-1								y(-3)	Кубічний сплайн
					1		-3		4

Продовження табл.. 3.1

1	2		3												4	5
	3			0.5	0.61	0.72	0.83		0.94	1.05	1.16				y(0.85)	Лагранжа
				3.75	4.96	5.99	6.78		7.56	8.31	9.47
25	1			-5	5										y(2)	Ньютона
				-1	2
	2			-1	3	7									y(5)	Кубічний сплайн
				-1	10	1
	3			2	1.340	1.345		1.350		1.355		1.360			y(1.352)	Лагранжа
				1.335	5.368	6.732		7.514		8.962		9.751
26	1			4.256	5										y(3.5)	Лагранжа
				2	-1

Продовження табл.. 3.1

1	2	3							4	5
26	2		4	3	5				y(4)	Ньютона
			1	5	-1
	3		1.56	2.77	3.98	5.10	6.31	7.52	y(4.5)	Кубічний сплайн
			5.78	7.95	9.54	11.41	13.12	15.65
27	1		-1	6					y(3)	Ньютона
			5	-3
	2		-3	0	3				y(1)	Ньютона
			5	-2	10

Продовження табл.. 3.1

1	2	3									4	5
	3		1	2	3	4	5	6	7	8	y(4.55)	Кубічний сплайн
			49.9	59.1	78.5	90.7	99.6	108.3	117.6	130.2

Короткі відомості з теорії

На практиці часто доводиться мати справу з функціями, заданими таблично, коли для значень аргументу x1, x2, …, xn відомі значення функції y1=f(x1), y2=f(x2),…., yn=f(xn). Сукупність крапок називається експериментом:

x1, x2, …, xn 

y1, y2, …, yn  де n – число експериментальних крапок.

Для того, щоб визначити значення функції f в якій-небудь точці х, відмінній від заданих x1, x2, …, xn, поступають таким чином: будують функцію F, яка в заданих точках x1, x2, …, xn співпадає із заданими y1, y2, …, yn, тобто F(xi)= yi, i = 1, 2, 3 ., n, а при інших х приблизно представляє функцію f. При цьому функція F називається інтерполяційною, а крапки x1, x2, …, xn – вузлами інтерполяції.

Частіше за все функцію F(x) задають у вигляді багаточлена. Існує тільки один інтерполяційний багаточлен, який може бути представлений в різних формах.