1.2. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды
Важным примером функционального ряда является степенной ряд:
,
который по теореме Абеля сходится
абсолютно в некотором наибольшем
интервале
,
называемом интервалом
сходимости, где R
– радиус сходимости.
Для вычисления радиуса сходимости применяются формулы
.
(1)
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда
.
Решение. Чтобы определить интервал абсолютной сходимости, необходимо использовать или признаки сходимости положительных рядов, или формулы для радиуса сходимости (1). Общий член данного степенного ряда
.
Применим признак Даламбера для определения абсолютной сходимости ряда:
.
Итак, интервал сходимости – интервал (–5,1) с центром a = 2 и радиусом R = 3. Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала. При x = 1 имеем
.
Так как
и в силу расходимости гармонического
ряда по признаку сравнения будет
расходиться и ряд с общим членом
,
т.е. степенной ряд при x = 1
расходится. При x = 5
имеем
.
Этот знакочередующийся ряд (
)
абсолютно расходится; по признаку
Лейбница
а члены ряда
монотонно убывают
,
поэтому данный ряд сходится (условно).
Следовательно, исследуемый степенной
ряд сходится на промежутке [–5,1).
Функцию, бесконечно дифференцируемую
в окрестности точки a, можно разложить
в степенной ряд по степеням
.
Такой ряд называется рядом Тейлора
или (при a = 0) – рядом
Маклорена:
или
.
Приведем канонические разложения основных элементарных функций в ряды Маклорена:
(2)
(3)
(4)
Пример 4. Разложить функцию: 1) e3x
по степеням x + 1; 2) 
по степеням x; 3) lnx
в окрестности точки a = 2.
Решение. 1. В окрестности точки a = 1, используя каноническое разложение (2), имеем
где
.
2. В этом случае a = 0. Используя каноническое разложение (4), имеем:
,
где
3. Используя каноническое разложение (3), имеем:
где
Ряд сходится на интервале
1.3. Применение степенных рядов
Разложение в степенные ряды можно использовать для приближенного вычисления значений функций, приближенного решения дифференциальных уравнений и вычисления определенных интегралов в силу того, что внутри интервала сходимости степенные ряды можно почленно многократно интегрировать и дифференцировать.
Пример 5. Вычислить с точностью
= 10–3
значение интеграла
Решение. Используя каноническое разложение (3) и интегрируя почленно, получим:
.
Этот знакочередующийся
ряд удовлетворяет всем условиям признака
Лейбница. Поэтому погрешность, получаемая
при замене его суммы частичной
суммой, не превосходит первого отброшенного
члена. Найдем первый член ряда, который
по абсолютной величине меньше
заданной погрешности :
Следовательно, отбрасывая все члены ряда, начиная с четвертого, имеем
Пример 6.
Найти три первых, отличных от нуля, члена
разложения в степенной ряд решения
задачи Коши
Решение. Начальное условие задано в точке a = 0, поэтому ищем решение в виде ряда Маклорена:
.
Используя начальное условие и последовательно дифференцируя уравнение, можно получить значения производных от искомой функции при x = 0:
;
.
Так как
,
то соответствующие члены разложения
отличны от нуля и решение имеет вид
.