- •Введение
- •Программа
- •1. Ряды
- •1.1. Сходимость числовых рядов
- •1.2. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды
- •1.3. Применение степенных рядов
- •1.4. Ряды Фурье и их применение
- •2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •2.1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных
- •2.2. Экстремум функций нескольких переменных
- •2.3. Оптимизация функций нескольких переменных
- •3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •3.1. Двойной интеграл. Замена переменных
- •3.2. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •3.3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.5. Криволинейный интеграл первого рода
- •3.6. Криволинейный интеграл второго рода
- •3.7. Теорема Грина и независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •4. Элементы теории поля
- •4.1. Операционное исчисление и его применение
- •Контрольная работа 6
- •Контрольная работа 7
- •Контрольная работа 8
- •5. Теория вероятностей
- •5.1. Основные понятия теории вероятностей
- •5.2. Повторение независимых опытов
- •5.3. Случайные величины и их числовые характеристики
- •5.4. Система двух случайных величин и регрессия
- •6. Основы математической статистики
- •Контрольная работа 9
- •Контрольная работа 10
- •Рекомендательный библиографический список
- •Оглавление
3.2. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
Если тело V ограничено сверху непрерывной поверхностью , снизу поверхностью , а боковой поверхностью является цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz (проекцией тела V на плоскость является область ), то объем этого тела вычисляется по формуле
. (19)
Пример 16. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , (рис.7).
Решение. Плоскости и являются боковыми границами тела, так как в их уравнениях нет переменной z. Область интегрирования ограничена линиями (следами боковых границ) c такими же уравнениями как у боковых стенок и и проекцией на Oxy линии пересечения поверхностей и . Исключая из этих уравнений z, получим линии пересечения: (рис.8).
3.3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Тройной интеграл определяется аналогично двойному интегралу как предел соответствующих интегральных сумм для функции трех переменных. Условия существования и свойства тройного интеграла такие же, как у двойного интеграла. Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Предположим, что областью интегрирования является тело , ограниченное снизу поверхностью , а сверху – поверхностью . Пусть это тело проектируется на область D плоскости , элементарный объем . Тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области проекции D и интегралу по dz.
Если функция непрерывна в области , то
В частности, объем
.
Решение. Область , на которую проектируется пирамида, есть треугольник на плоскости , ограниченный прямыми , , . Так как на нижней поверхности , а на верхней , то
.
Вычисляя последовательно, получим
,
,
.
Следовательно,
.
3.4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
Наряду с декартовыми координатами при вычислении тройного интеграла часто используется цилиндрическая система координат. Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями:
, , .
Тогда замена координат имеет вид
, (20)
где – область интегрирования в новых координатах и якобиан .
Пример 18. Определить массу прямого кругового цилиндра V с высотой h и радиусом основания R, если плотность в любой точке цилиндра равна расстоянию от этой точки до оси цилиндра = r.
Решение. Введем цилиндрическую систему координат, направив ось аппликат по оси цилиндра и совместив плоскость с нижним основанием цилиндра. Масса цилиндра равна тройному интегралу от плотности и по формуле (20)
.
Пусть теперь в пространстве задано тело , плотность которого в любой точке есть функция координат этой точки: . Координаты центра тяжести этого тела находятся по формулам
; ; . (21)
Момент инерции тела относительно оси
.
Аналогичные формулы имеют место для моментов инерции и относительно осей и соответственно:
; . (22)
Для плоских областей справедливы такие же формулы, как (21) и (17), но вместо тройного интеграла используется двойной.
Пример 19. Найти абсциссу центра тяжести тела из примера 16. Тело считать однородным с плотностью .
Решение. Так как , то по (21) имеем
.
Пример 20. Найти момент инерции тела относительно оси Oz, ограниченного поверхностями и (рис.10). Плотность = 1.
Решение. Найдем проекцию на плоскость xOy линии пересечения поверхностей z = 1 + x2 + y2 и z = 3: 1 + x2 + y2 = 3, откуда x2 + y2 = 2. Это окружность радиусом с центром в начале координат. Воспользовавшись формулой (20), перейдем к цилиндрическим координатам:
.
В этом случае якобиан и
. (23)
Пример 21. Найти по области V, ограниченной сферой и плоскостями (I октант).