- •Введение
- •Программа
- •1. Ряды
- •1.1. Сходимость числовых рядов
- •1.2. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды
- •1.3. Применение степенных рядов
- •1.4. Ряды Фурье и их применение
- •2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •2.1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных
- •2.2. Экстремум функций нескольких переменных
- •2.3. Оптимизация функций нескольких переменных
- •3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •3.1. Двойной интеграл. Замена переменных
- •3.2. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •3.3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.5. Криволинейный интеграл первого рода
- •3.6. Криволинейный интеграл второго рода
- •3.7. Теорема Грина и независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •4. Элементы теории поля
- •4.1. Операционное исчисление и его применение
- •Контрольная работа 6
- •Контрольная работа 7
- •Контрольная работа 8
- •5. Теория вероятностей
- •5.1. Основные понятия теории вероятностей
- •5.2. Повторение независимых опытов
- •5.3. Случайные величины и их числовые характеристики
- •5.4. Система двух случайных величин и регрессия
- •6. Основы математической статистики
- •Контрольная работа 9
- •Контрольная работа 10
- •Рекомендательный библиографический список
- •Оглавление
1.4. Ряды Фурье и их применение
Функциональные ряды по тригонометрической системе функций на промежутке называются тригонометрическими рядами, или рядами Фурье. Каждая гладкая (производная непрерывная) или кусочно-гладкая функция f(x) на промежутке в точках непрерывности разлагается в ряд Фурье
(5)
где
(6)
Если f(x) – четная функция, то
.
Если f(x) – нечетная функция, то
и , . (7)
Пример 7. Разложить в ряд Фурье функцию
Эта функция не обладает симметрией и задана на промежутке . Находим коэффициенты ряда Фурье по формуле (6), причем интегралы по промежутку возьмем по частям:
Следовательно, ряд Фурье для этой функции по (5) имеет вид
.
Ряды Фурье можно использовать для решения краевых задач математической физики. В качестве примера рассмотрим решение волнового уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Движение струны описывается уравнением в частных производных:
, (8)
где – отклонение точки струны с координатой x от положения равновесия в момент времени t, , .
Граничные условия для уравнения (8) (условия закрепления концов струны):
. (9)
Начальные условия:
, (10)
где функции f(x) и g(x) задают начальную форму струны и начальное распределение скоростей соответственно. Это – краевая задача.
Решение поставленной задачи ищем в виде ряда Фурье по синусам для x и с коэффициентами от t (метод Фурье):
(11)
Краевые условия (9) при этом удовлетворяются автоматически, так как при x = 0,l. Подставляя (11) в уравнение (8), получим:
,
откуда . Решение данного уравнения имеет вид
Таким образом,
(12)
Постоянные и находим из начальных условий (10). Имеем
, .
Отсюда следует, что и являются коэффициентами Фурье функций f(x) и g(x) в их представлении тригонометрическими рядами Фурье по синусам. Поэтому по (7)
(13)
Таким образом, решением задачи является функция (12), где коэффициенты и определяются формулами (13).
Отметим, что любую функцию, заданную на , можно разложить в ряд Фурье по косинусам (как четную) или по синусам (как нечетную).
2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
2.1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных
Производные функции нескольких переменных вычисляют отдельно по каждому из аргументов (остальные аргументы при этом полагают постоянными) и называют частными производными. В свою очередь, от них, как от функций нескольких переменных, можно снова находить частные производные, которые будут уже частными производными второго порядка, и т.д.
Например, для функции имеем
;
;
;
;
;
.
Если функция и все ее частные производные второго порядка непрерывны, то , т.е. смешанные (по разным переменным) частные производные не зависят от порядка дифференцирования (теорема Шварца).
Полный дифференциал – это главная часть полного приращения функции нескольких переменных, линейная относительно приращений аргументов. Полный дифференциал функции
,
где .
Функция дифференцируема, если она имеет дифференциал. Достаточным условием этого является непрерывность частных производных первого порядка.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях основано на том, что он является главной частью приращения функции, поэтому справедливы приближенные равенства: и
. (14)
Если приращения аргументов имеют смысл абсолютных погрешностей аргументов, то с помощью дифференциала можно оценить абсолютную () или относительную () погрешность вычисления функции:
; .
Пример 8. Вычислить приближенное значение функции в точке B (4,03; 1,96), исходя из ее значения в точке A(4,2) и заменив приращение функции дифференциалом. Найти возникающую при этом относительную погрешность (в процентах).
Решение. В данном случае , , ,
.
По (14) приближенное значение функции в точке B
.
Так как точное значение функции в точке B
,
то абсолютная и относительная погрешности равны соответственно:
0,04 %.
Формула производной сложной функции нескольких переменных, если и , имеет вид
.
Если функция одной переменной задана неявно уравнением , то ее производная
,
где , .
Частные производные функции двух переменных , заданной неявно уравнением , имеют вид
,
где .
Аналогичные выражения справедливы для производных неявно заданной функции от любого числа переменных.
Градиент функции – вектор, компонентами которого являются соответствующие частные производные
.
Градиент функции бльшего числа переменных определяется аналогично. Градиент в данной точке перпендикулярен проходящей через эту точку линии или поверхности уровня одинаковых значений функции.
Производная функции или в точке M по направлению l (т.е. скорость изменения значений функции при движении в данном направлении) равна скалярному произведению градиента функции в точке M и единичного вектора, задающего направление :
.
Градиент задает направление наибольшего роста значений функции в данной точке, и производная по направлению градиента равна модулю градиента.
Пример 9. Дана функция . Найти скорость и направление максимального роста функции в точке M (2,1,0) и производные по направлению от точки М к точке N (1,2,2) и по направлению {2,1 – 2}.
Решение. Так как
,
то направление максимального роста и его скорость
.
Направление от точки M к N задается вектором
.
Производная по этому направлению
,
т.е. функция убывает в этом направлении.
Для направления, заданного вектором , имеем
,
а производная по этому направлению
,
т.е. функция возрастает в этом направлении.
Если поверхность S задана неявно уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке имеет вид
,
а уравнение нормали (т.е. прямой, перпендикулярной касательной плоскости) имеет вид