- •Часть 1
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Каждое задание включает в себя:
- •Как самостоятельно изучить теоретический материал
- •Как составить опорный конспект
- •3. Как решать задачи (методика д. Пойа)
- •4. Как выполнить домашнюю контрольную работу
- •5. Как подготовить доклад
- •Доклад на тему «_______________________» Дисциплина: Математика Выполнил: студент группы ___
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры
- •Тема 1.1. Матрицы и определители Задание 2. Решение задач на действия над матрицами – 0,5 ч.
- •Транспонирование матриц
- •Пример 1. Транспонируйте матрицу
- •Сложение (вычитание) матриц
- •4. Умножение матриц
- •Пример 4. Найдите произведение матриц и .
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры
- •Тема 1.1. Матрицы и определители Задание 3. Нахождение определителей п-го порядка, миноров и алгебраических дополнений – 1 ч.
- •Третьего порядка:
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры
- •Тема 1.1. Матрицы и определители Задание 4. Нахождение обратной матрицы, вычисление ранга матрицы – 1 ч.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры
- •Тема 1.2. Системы линейных уравнений Задание 5. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса – 1 ч.
- •1. Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений):
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами Задание 6. Операции над векторами в координатах – 1 ч.
- •Операции над векторами в координатах
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 2.2. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка Задание 7. Составление уравнений прямых – 0,5 ч.
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 2.2. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка Задание 8. Составление уравнений кривых второго порядка и их построение – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 9. Виды числовых последовательностей. Определение пределов последовательностей – 0 - 0,5 - 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 10. Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей – 1 ч.
- •3. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью замечательных.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 11. Решение задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 13. Нахождение производной сложной функции – 0,5 - 1 ч.
- •Формулы дифференцирования сложных функций
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •I. Понятие производной высших порядков
- •II. Правило Лопиталя
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 15. Решение задач на определение промежутков возрастания и убывания, нахождение экстремумов функции – 0,5 - 1ч.
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 16. Определение промежутков выпуклости, вогнутости графика функций, нахождение точек перегиба – 0,5 - 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 17. Нахождение асимптот графика функции – 0,5 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 18. Полное исследование функции и построение графика – 1,5 ч.
- •Критерии оценки выполнения самостоятельной внеаудиторной работы
- •Список рекомендуемой литературы
Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 10. Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей – 1 ч.
Цель: формирование умения вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности и используя замечательные пределы.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
10.1. Выучите определение предела функции в точке. Выясните, когда при вычислении пределов функции в точке возникает неопределенность вида и в чем заключается техника ее раскрытия.
10.2. Вычислите предел функции в точке:
а)
|
б) |
в) |
г) |
д) |
|
10.3. Выучите определение предела функции на бесконечности. Выясните, когда при вычислении пределов функции возникает неопределенность вида и в чем заключается техника ее раскрытия.
10.4. Вычислите предел функции на бесконечности:
а) |
б) |
в) |
|
10.5. Запомните, какие пределы называются замечательными и проанализируйте, как они используются для вычисления пределов.
10.6. Вычислите предел функции с помощью замечательных пределов:
а) |
б) |
10.7. Вычислите предел функции:
а) |
б) |
в) |
|
10.8. Выясните, при каком значении параметра будет равен -1; 0; .
Методические указания по выполнению работы:
При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:
1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .
Число b называется пределом функции при х, стремящемся к хо (или в точке хо), если для любого наперед заданного существует такое , что для всех х, удовлетворяющих условиям , , имеет место неравенство: .
Если b есть предел функции при → то пишут: .
При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую технику:
1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой.
Пример 1. Вычислите: .
Решение. Подставим в многочлен вместо х значение -1, тогда
= .
Ответ: =0.
2. Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов , то проверяем, обращается ли при подстановке хо знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой.
Если при подстановке хо знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.
Если , то имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов и на множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:
, где х1 и х2 – корни уравнения .
Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.
Пример 2. Вычислите .
Решение. Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель при подстановке вместо х значения 3: , . Получили неопределенность вида .
Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного трехчлена. Составим уравнение и найдем его корни:
D = ;
; 3 или ; .
Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей: =
Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: = .
Вернемся к исходному пределу:
= = .
Ответ: = .
3. Если под знаком предела стоит дробь вида , включающая иррациональную функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному.
Пример 3. Вычислите .
Решение. Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо х значение 0, получаем неопределенность вида , домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряженное знаменателю. Получим:
= .
В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:
.
Вынесем в знаменателе х за скобки и сократим дробь на х: .
Видим, что при подстановке х=0 числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:
= = =-8.
Ответ: =-8.
2. Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .
Число b называется пределом функции при →∞, если для любого наперед заданного существует такое , что для всех имеет место неравенство: .
Если b есть предел функции при →∞, то пишут: .
Для нахождения пределов функций на бесконечности часто используют два основных предела: и , где с – константа.
При вычислении предела дроби при →∞ возникает неопределенность вида .Техника ее раскрытия заключается в том, что каждое слагаемое числителя и знаменателя нужно разделить на х в наивысшей степени. Возможны три случая:
1)наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя:
Пример 4. Вычислите .
Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х2. Получим:
= = ;
Каждое слагаемое стремится к 0 при →∞, тогда
= =2.
Ответ: =2.
Итак, если наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя, то в пределе получается число, отличное от нуля.
Пример 5. Вычислите .
Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х2. Получим:
= = =∞.
Ответ: = .
Таким образом, если наивысшая степень числителя больше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается бесконечность.
3)наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя:
Пример 6. Вычислите .
Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х3. Получим:
= = = .
Ответ: =0.
Таким образом, если наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается ноль.