- •Часть 1
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Каждое задание включает в себя:
- •Как самостоятельно изучить теоретический материал
- •Как составить опорный конспект
- •3. Как решать задачи (методика д. Пойа)
- •4. Как выполнить домашнюю контрольную работу
- •5. Как подготовить доклад
- •Доклад на тему «_______________________» Дисциплина: Математика Выполнил: студент группы ___
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры
- •Тема 1.1. Матрицы и определители Задание 2. Решение задач на действия над матрицами – 0,5 ч.
- •Транспонирование матриц
- •Пример 1. Транспонируйте матрицу
- •Сложение (вычитание) матриц
- •4. Умножение матриц
- •Пример 4. Найдите произведение матриц и .
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры
- •Тема 1.1. Матрицы и определители Задание 3. Нахождение определителей п-го порядка, миноров и алгебраических дополнений – 1 ч.
- •Третьего порядка:
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры
- •Тема 1.1. Матрицы и определители Задание 4. Нахождение обратной матрицы, вычисление ранга матрицы – 1 ч.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры
- •Тема 1.2. Системы линейных уравнений Задание 5. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса – 1 ч.
- •1. Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений):
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами Задание 6. Операции над векторами в координатах – 1 ч.
- •Операции над векторами в координатах
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 2.2. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка Задание 7. Составление уравнений прямых – 0,5 ч.
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 2.2. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка Задание 8. Составление уравнений кривых второго порядка и их построение – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 9. Виды числовых последовательностей. Определение пределов последовательностей – 0 - 0,5 - 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 10. Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей – 1 ч.
- •3. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью замечательных.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 11. Решение задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 13. Нахождение производной сложной функции – 0,5 - 1 ч.
- •Формулы дифференцирования сложных функций
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •I. Понятие производной высших порядков
- •II. Правило Лопиталя
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 15. Решение задач на определение промежутков возрастания и убывания, нахождение экстремумов функции – 0,5 - 1ч.
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 16. Определение промежутков выпуклости, вогнутости графика функций, нахождение точек перегиба – 0,5 - 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 17. Нахождение асимптот графика функции – 0,5 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 18. Полное исследование функции и построение графика – 1,5 ч.
- •Критерии оценки выполнения самостоятельной внеаудиторной работы
- •Список рекомендуемой литературы
Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 16. Определение промежутков выпуклости, вогнутости графика функций, нахождение точек перегиба – 0,5 - 1 ч.
Цель: формирование умения находить промежутки выпуклости, вогнутости графика функции и его точки перегиба.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
16.1. Выучите определения вогнутого и выпуклого на интервале графика функции, точки перегиба. Запомните критерий выпуклости (вогнутости) графика функции.
16.2. Выясните, в чем заключается достаточное условие существования точек перегиба. Детально изучите и постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий находить промежутки выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба.
16.3. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции:
а) ; б) ; в) .
16.4. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .
16.5. Определите, при каком значении а график функции будет вогнутым на области определения функции.
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.
График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.
Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба.
Ф ункция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.
Так, график функции на рис.1. является выпуклым на промежутках (- ;х1) и (х2; + ); вогнутым на (х1;х2). График функции имеет две точки перегиба: (х1;у1) и (х2;у2).
Критерий выпуклости-вогнутости функции: если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый;
если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.
Критерий выпуклости-вогнутости функции удобно представляется в виде схемы:
f(x) вогнутая |
|
|
f(x) выпуклая |
|
|
Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.
Критическими точками функции второго рода называются те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:
Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку хо меняет знак, то точка графика с абсциссой хо является точкой перегиба.
При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба удобно использовать следующий алгоритм:
Найдите область определения функции.
Найдите первую производную функции .
Найдите вторую производную функции .
Определите критические точки второго рода ( (xo)=0 или (xo) не существует).
На числовой оси отметьте критические точки второго рода и определите знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.
Найдите интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выпишите абсциссы точек перегиба (если они есть) и найдите значение функции в этих точках.
Пример 1. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .
Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.
2. Найдем первую производную функции: = .
3. Найдем вторую производную функции: =2х-6.
4. Определим критические точки второго рода ( 0): 2х-6= 0 х=3.
5. На числовой оси отметим критическую точку х=3. Она разбивает область определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй производной функции 2х-6 на каждом из полученных интервалов:
при х=0 (-∞;3) (0)=-6<0;
при х=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.
т. перегиба
6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞).
Значение х=3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х=3:
= =2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка перегиба.
Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;3),
вогнутый при х (3;+ ∞); (3;2) – точка перегиба.
Пример 2. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .
Решение. 1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель отличен от нуля: х-7≠0 .
2. Найдем первую производную функции:
= = =
= .
3. Найдем вторую производную функции: = =
= =
= .
Вынесем в числителе 2∙(х-7) за скобки:
= =2∙ =
= = = .
4. Определим критические точки второго рода: не может быть равна нулю, поскольку числитель дроби 108≠0.
не существует, если (х-7)3=0 - критическая точка второго рода.
5. На числовой оси отметим критическую точку х=7 выколотой точкой, поскольку в этой точке функция не определена. Эта точка разбивает область определения функции на два интервала (-∞;7) и (7;+∞). Расставим знаки второй производной функции = на каждом из полученных интервалов:
при х=6 (-∞;7) (6)= <0;
при х=8 (7;+∞) (8)= >0.
вогн.
6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции является выпуклым при х (-∞;7), вогнутым при х (7;+ ∞).
Точка с абсциссой х=7 не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке функция не существует (терпит разрыв).
Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;7), вогнутый при х (7;+ ∞).
Список литературы:
1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 40, стр. 227-231.
2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 6, §6.8, стр. 141 – 144.
3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §7, стр. 274– 278.