- •Глава 6 числовые бесконечные ряды
- •§1. Определения. Примеры.
- •§2. Общие свойства числовых бесконечных рядов
- •§3. Числовые Ряды с положительными членами
- •§4. ДостаточныЕ признакИ сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
- •4.1 Признаки, основанные на сравнении двух рядов
- •4.2. Признак Даламбера
- •4.3. Признак Коши
- •4.4. Интегральный признак сходимости или расходимости ряда
- •§5. Числовые Ряды с произвольными членами
- •5.1. Достаточный признак сходимости рядов с произвольными членами. Абсолютно сходящиеся ряды
- •5.2. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •5.3. Свойства сходящихся рядов с произвольными членами
- •Упражнения
§2. Общие свойства числовых бесконечных рядов
Теорема 1. (Необходимый признак сходимости ряда) Если бесконечный ряд сходится, то при его общий член стремится к нулю,
(6.10)
Доказательство. Так как ряд сходится, то это означает, что его усеченная сумма стремится к конечному пределу , но , а потому
Теорема доказана.
Замечание. Условие (6.10) является лишь необходимым условием сходимости ряда, но оно не достаточное для того, чтобы утверждать сходимость ряда. В самом деле, рассмотрим гармонический ряд здесь общий член ряда стремится к нулю , но как было доказано в предыдущем разделе (пример 2) гармонический ряд собственно расходится.
Таким образом, если известно, что , то на основании этого предельного равенства никаких заключений о сходимости или расходимости ряда сделать нельзя. Ряд может быть либо сходящимся, либо расходящимся.
Но если известно, что не существует, либо существует, но не равен нулю то в этом случае, можно утверждать, что ряд расходится. Последнее замечание будет неоднократно использовано в последующем.
Теорема 2. Даны два любых сходящихся ряда
(6.11)
(6.12)
тогда ряд, полученный почленным сложением этих двух рядов
(6.13)
также сходится и имеет сумму .
Доказательство. Введем обозначения для усеченных сумм
По условию теоремы дано, что
Кроме того, имеем
а потому Отсюда находим
Итак, а это означает, что ряд (6.13) сходится и имеет сумму равную .
Поэтому сходящиеся ряды можно почленно складывать. Аналогичными рассуждениями легко доказать, что ряд, полученный почленным вычитанием сходящихся рядов (6.11) и (6.12) также сходится и имеет сумму, равную , то есть сходящиеся ряды можно почленно вычитать.
Теорема 3. Если в сходящемся ряде все его члены умножить на одно и тоже число , то полученный при этом ряд
(6.14)
сходится и имеет сумму, равную .
Доказательство. Введем обозначения для усеченных сумм порядка n
По условию теоремы имеем . Простые преобразования суммы дают
Далее Значит, доказано, что а потому ряд (6.14) сходится и имеет сумму, равную .
Заметим, что доказанная теорема 3 является распространением на сходящиеся ряды известного свойства арифметических сумм о возможности вынесения общего множителя слагаемых этой суммы за знак скобки.
Замечание. Если ряд
(6.15)
расходится и любое число не равное нулю, , то ряд
(6.16)
также расходится.
В самом деле, сохраняя те же обозначения для усеченных сумм, как и прежде, имеем
. (6.17)
Если ряд (6.15) собственно расходящийся, то и из (6.17) следует, что , а потому (6.16) также есть собственно расходящийся ряд.
Если же ряд (6.15) осциллирующий, то есть, не существует, то из (6.17) заключаем, что не существует и . Отсюда заключаем, что ряд (6.16) осциллирующий.
Теорема 4. Сходимость или расходимость ряда
(6.18)
не нарушится, если отбросить любое конечное число начальных членов этого ряда или приписать в начало этого ряда любое конечное число новых членов.
Доказательство. Пусть k, произвольно взятое натуральное число, которое в дальнейшем считается постоянным. Отбрасывая в ряде (6.18) первые k членов получим ряд
. (6.19)
Введем обозначение усеченной суммы ряда (6.19) порядка n
(6.20)
Обозначим через С сумму всех k отброшенных членов
(6.21)
Заметим, что С является постоянным числом. Сложим равенства (6.20) и (6.21)
. (6.22)
Правая часть равенства (6.22) представляет собой усеченную сумму ряда (6.18) порядка n + k , следовательно, или .
Если ряд (6.18) сходится, то это означает, что существует конечный предел , равный сумме ряда S: . Отсюда заключаем, что справедливо также предельное равенство, а это значит, что ряд (6.19) сходится и имеет сумму .
Далее предположим, что ряд (6.18) собственно расходящийся, то есть . Отсюда заключаем, что . Значит и ряд (6.19) также собственно расходящийся.
Наконец, пусть ряд (6.18) осциллирующий. Это означает, что не существует. Тогда заключаем, что не существует и предела . Отсюда делаем вывод, что ряд (6.19) осциллирующий. Теорема доказана.
Пример. Исследовать ряд
. (6.23)
Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию и играет важную роль при изложении дальнейшей теории. Число x – знаменатель прогрессии может быть любым действительным числом .
При исследовании ряда (6.23) его предстоит рассмотреть при всех значениях x.
При x = –1, он принимает вид но этот ряд был уже рассмотрен нами в примере 3, §1, формула (6.9) и там установлено, что он осциллирующий.
При ряд (6.23) имеет вид
. (6.24)
Здесь n-ый общий член ряда равен 1 и при он не стремиться к нулю, следовательно, не выполнен необходимый признак сходимости ряда, а потому ряд (6.24) расходится. Можно иначе, для ряда (6.24) усеченная сумма порядка n, имеет вид Отсюда , ряд (6.24) собственно расходящийся.
Далее будем считать, что . Составим усеченную сумму для ряда (6.23). Имеем . Применяя здесь, в правой части, формулу для нахождения суммы первых членов геометрической прогрессии, получим . Перепишем последнее равенство немного иначе
. (6.25)
Последовательность при выполнении условия является бесконечно малой последовательностью, дробь (x − фиксировано) есть ограниченная и постоянная величина. Значит правая часть (6.25) есть сумма постоянной и бесконечно малой, а потому существует предел и
.
Отсюда следует, что при ряд (6.23) сходится и имеет сумму равную . Другими словами, при справедливо равенство
.
Пусть, наконец . При этом условии, последовательность есть бесконечно большая. После этого из равенства (6.25) заключаем, что , то есть ряд (6.23) собственно расходящийся.
Полученные результаты можно записать так: ряд (6.23) сходится при и расходится при . Это же самое показано на числовой оси рис.67.
Рис. 67