4.2. Признак Даламбера

Теорема 1. Если для ряда с положительными членами

(6.54)

можно указать такое, не зависящее от n, число q, больше нуля и меньше единицы (0 < q < 1), что для всех n > v выполняется неравенство

(6.55)

то ряд (6.54) сходится, a если же для всех n > v выполнено неравенство

(6.56)

то ряд (6.54) расходится.

Доказательство. Сначала предположим выполнение условия (6.55). Не будет ограничением общности, если допустить, что условие (6.55) выполняется для всех членов ряда (6.54), то есть, при n ≥ 2, так как в противном случае можно, не изменяя сходимости или расходимости, начальные члены ряда (6.54), не удовлетворяющие неравенству (6.55), отбросить. Итак, пусть неравенство (6.55) выполнено при n = 2,3,… Полагая индекс n в (6.55) равным 2,3,…,n, получаем неравенства , ,…, . Перемножая эти n – 1 неравенств и произведя после этого очевидные сокращения, найдем . Умножение на положительное число p₁ дает, причем здесь n = 1,2,…. Значит, справедливы неравенства

. (6.57)

Теперь для доказательства сходимости ряда (6.54) сравним его с рядами

(6.58)

. (6.59)

Ряд (6.59) есть геометрическая прогрессия, знаменатель которой q удовлетворяет неравенству 0 < q < 1. При таких значениях q, как было уже сказано, ряд (6.59) сходится.

Ряд (6.58) получается из сходящегося ряда (6.59) умножением всех его членов на конечное число p₁. Поэтому в соответствии с теоремой 3 (гл.6, §4, п.4.1), ряд (6.59) также сходится.

Для ряда (6.54) сходящийся ряд (6.58), в силу неравенства (6.57), является мажорантой. На основании теоремы 1 (гл.6, §4, п.4.1) ряд (6.54), имеющий сходящуюся мажоранту, является сходящимся. Таким образом, достаточный признак сходимости Даламбера доказан.

Далее предположим, что выполнено условие (6.56). Умножая обе части неравенства (6.56) на , получим при всех n > v. Значит, полагая n равным v + 1, v + 2,…, получаем . Это означает, что при выполнении условия (6.56), все члены ряда (6.54), начиная с образуют неубывающую последовательность. Поэтому необходимый признак сходимости ряда не выполнен, т.е. а потому ряд (6.54) расходится. Теорема доказана.

Очень удобен для применения признак Даламбера в форме предельного равенства. Он содержится в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть ряд с положительными членами

(6.60)

такой, что существует предел

(6.61)

тогда если:

1) , то ряд (6.60) сходится;

2) , то ряд (6.60) расходится;

3) , решить вопрос о сходимости или расходимости ряда (6.60) при помощи признака Даламбера нельзя, за исключением того случая, когда стремится к 1 справа. В этом случае выполнено условие (6.56), а потому ряд (6.60) расходится.

Доказательство. Предположение о том, что предельное равенство (6.61) выполнено, означает, что для всякого как угодно малого числа можно указать такое натуральное число v, зависящее от , что для всех n > v выполнено неравенство или же в равносильной форме

. (6.62)

Пусть (заметим, что ) и докажем, что ряд (6.60) при этом сходится.

Выберем число настолько малым, чтобы выполнялось неравенство . После такого выбора число фиксируем, и полагаем , тогда 0 < q < 1. С помощью введенных обозначений правая часть двойного неравенства (6.62) принимает вид . Значит, для ряда (6.60) выполняется неравенство (6.55) предыдущей теоремы и потому ряд (6.60) сходится.

Пусть теперь . На этот раз выберем число настолько малым, чтобы . С учетом этого неравенства и левой части двойного неравенства (6.62) заключаем, что для всех n > v выполнено неравенство . Значит для ряда (6.60) выполнено неравенство (6.56) предыдущей теоремы и по этой теореме ряд (6.60) расходится.

Если же , то (6.62) принимает вид и потому нельзя установить какому из неравенств (6.55) или (6.56) предыдущей теоремы удовлетворяет отношение . Поэтому в случае признак Даламбера не позволяет решить вопрос о сходимости или расходимости ряда (6.60). Теорема доказана.

Рассмотрим примеры:

Пример 1. Исследовать ряд .

Применим признак Даламбера в форме предельного равенства. Здесь , и потому . Отсюда получаем . Следовательно, ряд сходится.

_{Пример 2. Исследовать ряд}

_{В этом примере}

_.

_{Применим признак Даламбера в форме предельного равенства}

_{< 1.}

_{Поэтому ряд сходится.}

_{Пример 3. Исследовать ряд}

_.

_{Здесь . Составим отношение}

_.

_{Далее пользуемся признаком Даламбера в форме предельного равенства}

_{Поэтому ряд расходится.}