5.3. Свойства сходящихся рядов с произвольными членами

Хорошо известно свойство конечных арифметических сумм, которое выражается словами «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется». Для рядов это свойство не всегда верно. Именно, этим свойством не обладают неабсолютно сходящиеся ряды. Для неабсолютно сходящихся рядов справедлива теорема Римана.

Теорема Римана. Одной лишь перестановкой членов неабсолютно сходящегося ряда можно сделать сумму этого ряда любым действительным числом и даже превратить этот ряд в расходящийся.

Не останавливаясь здесь на доказательстве теоремы Римана, приведем лишь пример, иллюстрирующий ее.

В качестве неабсолютно сходящегося ряда возьмем полугармонический ряд

. (6.102)

В этом ряде после каждого положительного члена находится один отрицательный. Изменим порядок следования положительных и отрицательных членов, помещая после каждого положительного члена два отрицательных. После такой перестановки ряд принимает вид

. (6.103)

В получившемся ряде сгруппируем его члены следующим образом:

Теперь произведя вычитание в скобках, и вынося общий множитель за скобку, получаем

Заметим, что ряд (6.103) содержит все члены ряда (6.102) и только их, но в другом порядке. Однако в результате произведенной перестановки членов ряда, сумма ряда уменьшалась в два раза.

Идея общего доказательства теоремы состоит в целесообразном чередовании порции положительных и отрицательных членов неабсолютно сходящегося ряда так, чтобы усеченные суммы, получившегося ряда были то больше, то меньше наперед заданного действительного числа x.

В отличие от неабсолютно сходящихся рядов, абсолютно сходящиеся ряды при произвольной перестановке членов ряда не только остаются сходящимися, но не меняют свою сумму.

Более того, два абсолютно сходящихся ряда:

, (6.104)

(6.105)

можно перемножать по правилу умножения многочлена на многочлен, т.е. каждый член первого ряда умножается на все члены второго и произведения суммируются. Чтобы при таком сложении не пропустить какого-нибудь произведения x_k·y_j, умножение рядов можно упорядочить следующим образом. Сначала пишут те слагаемые произведения x_k·y_j, у которого сумма индексов наименьшая – равна двум. Это произведение равно x₁·y₁. Затем пишем два слагаемых, у которых сумма индексов равна 3: x₁·y₂, x₂·y₁; Вслед за ним те слагаемые произведения, сумма индексов которых равна 4: x₁·y₃, x₂·y₂, x₃·y₁ и так далее. Итак, произведение рядов (6.104) и (6.105) представляет собой ряд

. (6.106)

Если, как предположено, ряд (6.104) и (6.105) абсолютно сходящиеся, то их произведение – ряд (6.106) также является абсолютно сходящимся рядом и его сумма равна , то есть произведению сумм перемножаемых рядов.

Заметим, что перемножение двух неабсолютно сходящихся рядов не подчиняются правилу перемножения многочлена на многочлен, так как произведение таких рядов может оказаться расходящимся рядом.