- •Глава 6 числовые бесконечные ряды
- •§1. Определения. Примеры.
- •§2. Общие свойства числовых бесконечных рядов
- •§3. Числовые Ряды с положительными членами
- •§4. ДостаточныЕ признакИ сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
- •4.1 Признаки, основанные на сравнении двух рядов
- •4.2. Признак Даламбера
- •4.3. Признак Коши
- •4.4. Интегральный признак сходимости или расходимости ряда
- •§5. Числовые Ряды с произвольными членами
- •5.1. Достаточный признак сходимости рядов с произвольными членами. Абсолютно сходящиеся ряды
- •5.2. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •5.3. Свойства сходящихся рядов с произвольными членами
- •Упражнения
§5. Числовые Ряды с произвольными членами
Каждый из членов числового ряда с произвольными членами может быть либо положительным, либо отрицательным числом, либо нулем.
5.1. Достаточный признак сходимости рядов с произвольными членами. Абсолютно сходящиеся ряды
Теорема. Для сходимости числового ряда с произвольными членами
(6.79)
достаточно, чтобы сходился ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть, чтобы сходился ряд с положительными членами
. (6.80)
Доказательство. Дано, что сходится ряд с положительными членами (6.80) и на этом основании нужно доказать, что сходится ряд (6.79).
Особенно просто доказывается эта теорема, если в ряде (6.79) имеется конечное число отрицательных членов, а все остальные (в бесконечном числе) – положительные.
Рассматривая члены ряда (6.79) слева направо, отметим в нем последний отрицательный член . Это означает, что если в (6.79) отбросить все v начальных членов, то получившийся ряд
(6.81)
содержит только положительные члены, и потом он совпадает с рядом
. (6.82)
Но ряд (6.82) получен из сходящегося ряда (6.80) в результате отбрасывания конечного числа v начальных членов и по теореме 4 (гл.6, §2) ряд (6.82), а значит и ряд (6.81) сходятся. По этой же теореме сходится и ряд (6.79), так как он получается из сходящегося ряда (6.81) в результате добавления конечного числа членов .
Если ряд (6.79) содержит конечное число положительных членов, а остальные в бесконечном числе отрицательные, то, не изменяя его сходимости или расходимости, умножим все члены ряда на –1 и тем самым сводим доказательство к предыдущему случаю.
Остается рассмотреть тот случай, когда в ряде (6.79) имеется бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.
В этом случае довольно легко можно составить два вспомогательных ряда: ряд, в котором содержатся только положительные члены ряда (6.79), а на месте отрицательных членов находятся нули и ряд, составленный из всех отрицательных членов того же ряда, а на месте положительных членов нули.
Проверим, что ряд, составленный из всех положительных членов ряда (6.79) имеет вид
. (6.83)
Точно так же ряд
(6.84)
содержит все отрицательные члены ряда (6.79). Однако, вместо (6.84) удобно рассматривать ряд с положительными членами, полученный из (6.84) умножением всех его членов на –1
. (6.85)
Сначала займемся рядом (6.83). Его общий член
если xn > 0,
если xn < 0.
Отсюда и заключаем, что если xn > 0, то на соответствующем месте в ряде (6.83) находится этот же член xn; если же xn < 0, то на соответствующем месте в (6.83) стоит нуль.
Теперь, обращаясь к рассмотрению общего члена ряда (6.85) имеем, что
если xn > 0
если xn < 0.
Поэтому в ряде (6.84) на тех же местах, что и в (6.79) находятся отрицательные члены ряда (6.79), на тех же местах где в (6.79) стояли положительные члены, в (6.84) будут нули.
Далее сравним два ряда с неотрицательными членами (6.80) и (6.83). Ряд (6.80) является мажорантой ряда (6.83). Но так как мажоранта (6.80), по предположению сходится, то сходится также ряд (6.83). Аналогично ряд (6.80) является сходящейся мажорантой для ряда с положительными членами (6.85), а потому ряд (6.85) сходится. Но разность сходящихся рядов также есть сходящийся ряд и потому, вычитая почленно из сходящегося ряда (6.83) сходящийся ряд (6.85), получаем сходящийся ряд (6.79).
Заметим, что доказанная теорема необратима; именно, существуют такие ряды (6.79), которые сходятся, но составленный для них ряд (6.80) расходится.
В связи с этим введем следующие определения:
Определение 1. Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. если сходится ряд с положительными членами .
Определение 2. Числовой ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся рядом, если этот ряд сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов , является расходящимся рядом.
Примером такого ряда может служить ряд
.
Этот ряд как будет установлено в следующем разделе п.5.2 сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов, представляет собой расходящийся гармонический ряд .
Доказанная теорема имеет важное практическое значение. Она сводит исследование сходимости произвольного ряда (6.79) на более простую задачу исследования сходимости ряда с положительными членами. При этом становится возможным использовать, доказанные прежде, достаточные признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами. Покажем, как это делается, например, для признака Даламбера.
Для произвольного ряда с действительными членами
(6.86)
образуем ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (6.86)
. (6.87)
Для ряда (6.87) с положительными членами используем признак Даламбера в форме предельного равенства. Пусть существует предел
. (6.88)
Тогда, если , то ряд (6.87) сходится и по последней теореме сходится также ряд (6.86).
Теперь пусть , тогда ряд (6.87) расходится. Из расходимости ряда (6.87) следует также расходимость ряда (6.86). Действительно, если в (6.88) , то найдется достаточно большое число v, что при всех n > v будет выполнено неравенство или
Другими словами при n > v абсолютные величины членов ряда (6.86) возрастают. Значит, необходимый признак сходимости ряда не выполнен и потому ряд (6.86) расходится.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Исследовать ряд
(6.89)
При x > 0 этот ряд является рядом с положительными членами. При x < 0 ряд содержит положительные и отрицательные члены. Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (6.89) и применим к нему признак Даламбера. Здесь и потому
при любых x . Значит при ряд (6.89) не только сходится, но и абсолютно сходится.
Пример 2. Исследовать ряд
(6.90)
Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда
К последнему ряду с положительными членами применим признак Даламбера. Имеем
.
Пусть , тогда и . Следовательно, при всех ряд (6.90) расходится. Если x = 0, то из (6.90) заключаем, что ряд сходится.
Пример 3. В этом примере будет показано, как применяется признак сравнения к рядам с произвольными членами.
Исследовать ряд
(6.91)
Составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда
(6.92)
Но (n = 1,2,…) и потому ряд является сходящейся мажорантой для ряда (6.92). Следовательно, ряд (6.92) сходится, а это означает, что ряд (6.91) также сходится и притом абсолютно при всех значениях x.