2. Статистическая устойчивость распределения наблюдений

При значительных случайных погрешностях приходится обращаться к многократным наблюдениям и последующей статистической обработке их результатов. При этом обработка результатов наблюдений возможна, если их рассеивание обнаруживает определенные закономерности. Если же результаты наблюдений разбросаны хаотически, то совместно обработать их и получить результат измерения невозможно.

Поэтому первым этапом проведения измерений и обработки их результатов является проверка наличия закономерностей в распределении наблюдений. Если такие закономерности обнаруживаются, то распределение наблюдений обладает статистической устойчивостью и для их обработки возможно применение методов теории вероятностей и математической статистики.

Без статистической устойчивости даже большому числу наблюдений невозможно поставить в соответствие вероятностную модель и определить на ней действительное значение измеряемой величины и ее погрешность, т.е. невозможно провести измерение с заданной точностью.

3. Дифференциальные и интегральные законы распределения случайной величины

Случайная величина наилучшим и исчераывающим образом характеризуется в теории вероятностей законом ее распределения. Этот закон устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями их появления. Существует две формы описания закона распределения случайной величины — дифференциальная и интегральная. Причем, в метрологии в основном используется дифференциальная форма — закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

1. Дифференциальный закон распределения

Данный закон распределения характеризуется кривой плотности распределения вероятностей f(x) случайной величины х .

Вероятность Р попадания случайной величины в интервал от х_{1 до} х₂ при этом дается формулой:

Графически эта вероятность представляет собой отношение площади под кривой f(x) в интервале от х₁ до х₂ к общей площади, ограниченной всей кривой распределения. Как правило, площадь под всей кривой распределения вероятностей нормируют на единицу.

В данном случае представлено распределение непрерывной случайной величины. Кроме них существуют и дискретные случайные величины, принимающие ряд определенных значений.

2. Интегральный закон распределения случайной величины

Интегральный закон распределения случайной величины представляет собой функцию F(x), определяемую формулой

Вероятность, что случайная величина будет меньше х₁ дается значением функции F(х) при х = х₁ :

3. Числовые характеристики распределений

Хотя закон распределения случайных величин является их полной вероятностной характеристикой, нахождение этого закона является довольно трудной задачей и требует проведения многочисленных измерений. Поэтому на практике для описания свойств случайной величины используют различные числовые характеристики распределений. К ним относятся моменты случайных величин: начальные и центральные, которые представляют собой некоторые средние значения. При этом, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называются начальными, а если от центра распределения – то центральными.

Начальный момент k-го порядка определяется формулой:

Наибольший практический интерес представляет начальный момент первого порядка - математическое ожидание случайной величины m₁ (k=1):

Математическое ожидание определяет положение центра группирования случайной величины, вокруг которого наблюдается ее рассеяние. Экспериментальной оценкой математического ожидания является среднее значение измеряемой величины.

Центральный момент k-го порядка определяется формулой:

Особую роль играет центральный момент второго порядка. Он называется дисперсией D случайной величины и характеризует рассеяние отдельных ее значений:

На практике чаще используется среднее квадратическое отклонение σ (СКО) случайной величины, определяемое формулой:

При более подробном изучении распределений случайной величины используются моменты более высоких порядков. Так, любой нечетный центральный момент характеризует асимметрию распределения. Например, третий момент используют для нахождения коэффициента ассиметрии распределения.