Теоретичні відомості

Для побудови математичної моделі функціонування напрямних рухомої платформи силового столу використовуються методи теорії контактної жорсткості машин [1] з врахуванням наступних припущень:

1. Деталі столу та платформи абсолютно жорсткі, окрім поверхневих шарів, які зазнають контактних деформацій.

2. Контактні деформації в стиках напрямних пропорційні величинам питомих тисків.

3. Похибками виготовлення напрямних можна знехтувати.

4. Функціонування силового вузла розглядається в усталеному режимі.

Розрахункова схема рухомої платформи силового столу зображена на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Розрахункова схема рухомої платформи силового столу

Сила подачі Р_п, яка створюється гвинтовою парою, прикладена на відстані у_Рп від площини напрямних. Момент гвинтової пари М_п дорівнює:

, (4.1)

де d₂ – середній діаметр різьби ходового гвинта;

γ – кут підйому гвинтової поверхні витків;

φ` – приведений кут тертя в різьбі.

Платформа силового столу базується на п’яти стиках поверхонь напрямних, а саме: двох похилих гранях 2 і 3 трикутної напрямної, основній грані 4 пласкої напрямної та двох гранях 1 та 5 притискних планок (див. рис. 4.1). З боку кожного стику напрямних на платформу діють реакції: сила R_і та момент М_і ( – номер стику).

В стиках напрямних виникають сили тертя, які дорівнюють

, (4.2)

де μ – коефіцієнт тертя в стиках напрямних.

Система рівнянь рівноваги рухомої платформи має вигляд

де α , β – кути нахилу граней трикутної напрямної;

l₁ , l₂ – відстані між серединами основних граней та притискних планок відповідно;

a – відстань між серединами граней трикутної напрямної;

d – відстань від площини основних граней до притискних планок.

Я

Рис. 4.2. Контакт поверхонь плоского стику

к відомо [1], реакції плоского стику можна привести до нормальної сили, розміщеної у його центрі, та моменту. Величини реакцій визначаються геометричними параметрами, до яких належать зазор δ_і в центрі стику (випадок δ_і < 0 відповідає пружному зближенню поверхонь стику) та кут відносного повороту поверхонь стику φ_і .

Функціонування плоского стику можна розбити на три випадки контакту, як показано на рис. 4.2.

1. Між поверхнями стику немає контакту (рис. 4.2 а). У цьому випадку виконується умова . Реакції і питомі тиски в стику дорівнюють нулю Р_і = 0, М_і = 0, р_max = 0.

2. Контакт між поверхнями відбувається на частині довжини стику (рис. 4.2 б). Виконується умова . Реакції в стику дорівнюють

, ,

де – довжина контакту поверхонь стику;

b_і – ширина стику напрямних;

k – коефіцієнт контактної податливості.

Максимальна величина питомих тисків дорівнює

.

3. Контакт між поверхнями відбувається по всій довжині стику (рис. 4.2 в). Виконується умова _і > – |_і|· . Реакції в стику дорівнюють

, .

Максимальна величина питомих тисків дорівнює

.

Таким чином, реакції в стиках напрямних визначаються через їх геометричні параметри наступним чином:

(4.4)

(4.5)

Максимальні питомі тиски в стиках напрямних дорівнюють

(4.6)

Для встановлення залежностей, що визначають сумісність деформацій у стиках напрямних, розглянемо геометричні співвідношення між малими переміщеннями рухомої платформи та зазорами в стиках напрямних (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Схема до розрахунку пружних переміщень у стиках напрямних рухомої платформи силового столу

В початковому положенні платформа розміщується на напрямних так, що зазор в напрямних 2, 3, 4 дорівнює 0. Тоді зазори в напрямних 1 та 5 дорівнюють Δ:

δ₁ = Δ, δ₂ = 0, δ₃ = 0, δ₄ = 0, δ₅ = Δ.

Якщо платформа пересунеться на малу величину δ_x в напрямку осі X, то величини зазорів в напрямних зміняться відповідно на

Δδ₁ = 0, Δδ₂ = –δ_x ∙ sin α, Δδ₃ = δ_x ∙ sin β, Δδ₄ = 0, Δδ₅ = 0.

При переміщенні платформи на величину δ_y в напрямку осі Y зміни зазорів будуть дорівнювати

Δδ₁ = – δ_y, Δδ₂ = δ_y ∙ cos α, Δδ₃ = δ_y ∙ cos β, Δδ₄ = δ_y, Δδ₅ = – δ_y.

При повороті платформи на малий кут φ_z навколо осі Z:

, ,

, , .

Підсумовуючи, одержуємо:

, (4.7)

, (4.8)

, (4.9)

, (4.10)

 . (4.11)

Залежності між кутами повороту платформи навколо осей х та Y і кутами повороту в напрямних знаходимо по аналогії з лінійними переміщеннями:

, (4.12)

, (4.13)

, (4.14)

, (4.15)

. (4.16)

Підставляючи у систему (4.3) реакції Р_i та М_i в кожному стику напрямних (4.4–4.5) з врахуванням величин δ_і та φ_і згідно з (4.7–4.16), одержуємо загальну систему просторових залежностей, які встановлює взаємозв’язок між навантаженнями рухомої платформи силового столу та похибками її положення в усталеному режимі.

Для розв’язання одержаної системи рівнянь вона записується у вигляді блоку Given – Minerr пакету Mathcad. Тепер систему рівнянь можна розв’язувати засобами пакету Mathcad відносно будь-яких змінних, що входять до неї. Щоб знайти навантажувальну здатність та похибки положення рухомої платформи при відомій силі подачі, необхідно розв’язати систему відносно змінних Р_o, δ_х, δ_у, φ_х, φ_у, φ_z , які при цьому називаються ведучими.

Після розв’язання системи виходячи з одержаних величин δ_х, δ_у, φ_х, φ_у, φ_z розраховуються кути повороту φ_i та зазори δ_i у кожному з стиків напрямних за формулами (4.7–4.16), а потім визначаються відповідні питомі тиски за формулою (4.6).

Сили тертя в стиках напрямних можна визначити за формулою

. (4.17)

Точність положення рухомої платформи силового столу характеризується малими лінійними зміщеннями δ_х , δ_у в напрямку відповідних координатних осей та малими кутами повороту φ_x , φ_y , φ_z відносно осей координат. Знаючи ці компоненти, можна розрахувати похибку положення довільної точки виконавчого органу приводу подачі та приведені до зони обробки похибки, які характеризують положення і напрямок осі обробленого отвору при свердлінні (рис. 4.4).

Приведене відхилення е осі оброблюваного отвору від теоретичної розраховується за формулою:

, (4.18)

де е_х, е_у – проекції відхилення на осі координат, які дорівнюють

, .

Приведений кут ψ відхилення осі оброблюваного отвору від теоретичної визначається за формулою:

, (19)

де x_A , y_A , z_A – координати вершини інструмента в системі координат рухомої платформи (див. рис. 4.4).

Рис. 4.4. Схема приведення похибок положення рухомої платформи силового столу до похибок обробки при свердлінні

За допомогою математичної моделі функціонування напрямних рухомої платформи силового столу визначаються згідно з формулою (6) величини питомих тисків р_і в кожному із стиків напрямних, на основі чого розраховується максимальна величина питомих тисків р_max:

р_max = max ( р_i ) , (4.20)