- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
8) Угол между двумя прямыми
L2
L1
П
α2
α1
x
y
Рис.5.
9) Точка пересечения прямых
Пусть даны две прямые и . Очевидно, что координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой. Поэтому для того, чтобы их найти надо решить систему
Если прямые не параллельны, то есть , то решение системы дает единственную точку пересечения прямых.
10) Расстояние от точки до прямой
Пусть задана точка M0(x0,y0) и прямая L, . Под расстоянием от M0 до прямой понимается длинна перпендикуляра d=M0N опущенного из т.M0 на прямую L.(Рис.6.)
Р
y
M0(x0
y0)
d
M1
Рис.6.
N(x,y)
o
x
L
Так как M1(x1,y1) принадлежит прямой L, а , то и окончательно получим :
.
3.Линии второго порядка на плоскости.
Рассмотрим линии, определяемые уравнением второй степени относительно текущих координат
(1)
Коэффициенты уравнения действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A,B или C отлично от 0. такие линии называют линиями (кривыми) второго порядка. Ниже мы покажем, что уравнение (1) определяет на плоскости окружность Эллипс, гиперболу или параболу.
1) Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружность радиуса R с центром в точке M0 называется множество точек M плоскости удовлетворяющих условию MM0=R. Пусть точка M0 в системе Oxy имеет координаты x0,y0 ,а M(x,y)- произвольная точка окружности. Тогда или
(1)
-каноническое уравнение окружности. Полагая, x0=y0=0 получим x2+y2=R2
покажем, что уравнение окружности можно записать в виде общего уравнения второй степени (1). Для этого возведем в квадрат правую часть уравнения окружности и получим:
или
Для того чтобы это уравнение соответствовало (1) необходимо чтобы:
1) коэффициент B=0,
2) . Тогда получим: (2)
Последнее уравнение называется общим уравнением окружности. Поделив обе части уравнения на А ≠0 и дополнив члены содержащие x и y до полного квадрата получим:
(2)
Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением окружности, получим, что уравнение (2) действительно уравнение окружности если:
1)A=C, 2)B=0, 3)D2+E2-4AF>0.
При выполнении этих условий центр окружности расположен в точке О , а ее радиус .
2) Эллипс
M (x,y)
П
x
F1
(-c,o)
F2
(c,o)
y
Рис.1.
Пусть M(x,y)- произвольная точка эллипса, тогда, согласно определению эллипса MF1+MF2=2 то есть
-это и есть уравнение эллипса. Можно его преобразовать к более простому виду следующим образом :
возводим в квадрат :
возводим в квадрат
так как ,то 2-c2>0 положим 2-c2=b2
Тогда последнее уравнение примет вид:
или
-это уравнение эллипса в каноническом виде.
Форма эллипса зависит от соотношения : при b= эллипс превращается в окружность. Уравнение примет вид . В качестве характеристики эллипса часто пользуются отношением . Эта величина получила название эксцентриситета эллипса, причем, 0< <1 так как 0<c< для окружности =1. характеризует форму эллипса, чем меньше , тем эллипс будет менее сплющенным.
Исследование формы эллипса.
1) уравнение эллипса содержит x и y, только в четной степени, поэтому эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy , а также относительно т.О (0,0), которую называют центром эллипса.
2) найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y=0 находим A1( ,0) и A2(- ,0), в которых эллипс пересекает Ox. Положив x=0, находим B1(0,b) и B2(0,-b). Точки A1,A2,B1,B2 –называются вершинами эллипса. Отрезки A1A2 и B1B2 , а также их длины 2 и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа и b – соответственно большой и малой полуосями.
3
A2(-
,0)
B1(0,b)
A1(
,0)
F1
F2
С
Рис.2.
B2(0,b)
4)В уравнении эллипса сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого, другое будет уменьшаться , то есть если |x| возрастает, то |y| - уменьшается и наоборот. Из всего сказанного следует, что эллипс имеет форму изображенную на рис.2. (овальная замкнутая кривая).