- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
3) Гипербола.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой точки которых до двух точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.
О
M(x,y)
F1(-c,0)
F2(c,0)
x
y
Рис.3.
Тогда F1(-c,0),F2(c,0).Пусть M(x,y)- произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению или то есть . После упрощения, аналогичных тем, которые мы делали при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:
, где (1)
Исследование формы гиперболы по ее уравнению
1.Уравнение гиперболы содержит x и y в четной степени. Следовательно гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy, а также т.O, которую называют центром гиперболы.
2.Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив y=0, находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox: A1( ,0),A2(- ,0). Положив x=0, получим y2=-b2 , чего не может быть. Следовательно, гипербола ось Oy не пересекает. Точки A1( ,0) и A2(- ,0) называются вершинами гиперболы, а отрезок A1A2=2 - действительной полуосью гиперболы.
Отрезок B1B2 (B1B2=2b), соединяющий точки B1(0,b) и B2(0,-b) , называется мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2 и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.
3. Из уравнения гиперболы следует, что уменьшаемое не меньше единицы, то есть или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x= (правая ветвь) и слева от прямой x=- (левая ветвь).
4
0
A2
0
0
0)(
бб(,0)
A1
F1(c,0)
F2(-c,0)
Рис.4.
Асимптоты гиперболы
Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении т.M вдоль кривой K от начала координат.
На рис.4 приведена иллюстрация сказанного. Покажем, что гипербола имеет две асимптоты: и
Так как эти прямые и гипербола симметричны относительно осей координат, то достаточно рассмотреть только точки указанных линий, расположенные в первой четверти. Возьмем на прямой т.N, имеющую ту же абсциссу x, что и точка M(x,y) на гиперболе
И найдем разность MN между ординатами прямой и ветви гиперболы(рис.5)
B1 (0,
b)
M(x, y)
d
N
Рис.5.
0
A1(
,0)
0)
При возрастании x знаменатель дроби увеличивается, числитель=const. Стало быть, длинна MN→0, так как MN>d , то и d → 0. То есть - асимптоты гиперболы.
Эксцентриситетом гиперболы ( ) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы :
,т.к. с≥ , то >1.
Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет , тем более вытянут ее основной прямоугольник.
Гиперболы и имеют общие асимптоты, такие гиперболы называются сопряженными.