- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
4) Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалены от данной точки, называемой фокусом и данной прямой называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается p(p>0). Для вывода уравнения параболы выберем системы координат Oxy так, чтобы ось Ox проходила через F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F а начало координат О расположим посредине между фокусом и директрисой(рис.6). В выбранной системе F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид или .
П
y
M (x, y)
N
С
0
F
N
Рис.6.
Возводя в квадрат
Отсюда - каноническое уравнение параболы.
Исследование формы параболы по ее уравнению
В уравнении y- в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ox. Ось Ox- ось симметрии параболы.
Т
M
П
r
F
0
ри x=0 имеем y=0. следовательно, парабола проходит через начало координат.П
Рис.7.
ри неограниченном возрастании x модуль y также неограниченно возрастает. Парабола y2=2px имеет вид, изображенный на рис.7. Тогда O(0,0) называется вершиной параболы, а отрезок FM=r –фокальный радиус точки M.
5) Общее уравнение линий второго порядка
Запишем уравнение эллипса, окружности, гиперболы и параболы с центрами в т.O1(x0,y0), оси симметрии которых параллельны координатным осям Ox и Oy. Для этого надо поместить в т.O1(x0,y0), начало новой системы координат O1(x'1,y'1), оси которой O1x' и O1y' параллельны соответствующим осям Ox и Oy, и одинаково с ними направлены. Так как и -формулы параллельного переноса, то в старой системе координат после подстановки значений x’ и y’ в формулы соответствующих кривых получим:
(уравнение эллипса),
-уравнение гиперболы.
-уравнение окружности
-уравнение параболы.
Можно легко показать после несложных преобразований, что все эти уравнения можно записать с помощью единого уравнения следующего вида:
Где A,C≠ 0 одновременно.
Возникает вопрос :всякое ли уравнение приведенного вида определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола). Ответ дает теорема.
Теорема. Приведенное уравнение всегда определяет: либо окружность(при A=C),либо эллипс(при >0), либо гиперболу (при <0), либо параболу (при =0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружность) - в точку или мнимый эллипс(окружность), для гиперболы- в пару пересекающихся прямых, для параболы- в пару параллельных прямых.