Работа 2. Исследование методов статистического планирования эксперимента

1. Цель работы – изучение основных положений методов статистического планирования эксперимента, построение и исследование планов проведения эксперимента.

2. Основные теоретические положения

2.1. Постановка задачи. Выходной параметр устройства представляет собой функцию многих переменных: параметров деталей и элементов конструкции, напряжения источников питания и т. д., т. е.

у =f(х₁, ..., х_i, ..., х_n), (21)

где у – выходной параметр радиоэлектронного устройства: х_i – значение параметра i-го элемента структуры.

Как правило, конкретный вид этой функции не известен, и поэтому решение некоторых задач анализа и синтеза при конструировании радиоэлектронной аппаратуры затруднено. Метод статистического планирования эксперимента (СПЭ) в сочетании с регрессионным анализом результатов эксперимента позволяет получить математическую модель выходного параметра ИС в виде степенного ряда Тейлора, ограниченного членами первого, второго и реже третьего порядков:

, (22)

где Y – оценка генерального значения выходного параметра; В_i, В_ii, В_iu – эмпирические коэффициенты, являющиеся оценками соответствующих генеральных коэффициентов.

Уравнение (22) называется уравнением регрессии, а коэффициенты В_i, В_ii и В_iu, входящие в его члены, называются коэффициентами регрессии.

2.2. Основные определения. Первичные параметры элементов x1, ..., хk в теории спэ называются факторами, образующими k-мерное факторное пространство. Выходной параметр y называется функцией отклика.

Уравнение регрессии (22) может быть использовано для аппроксимации функции отклика в ограниченной области. Поэтому необходимо выбрать начальные значения факторов x_i и отклонения от начальных значений факторов Δх_i.. В устройствах ИС, выходной параметр которых описывается зависимостью (21), практически важно знать, как ведет себя схема в окрестностях номинальных расчетных значений параметров радиоэлементов х_i0. Поэтому наиболее эффективным способом расположения экспериментальных точек является их равномерное рассредоточение около номинальных. Последнее особенно очевидно, когда у исследователя отсутствуют априорные сведения о поведении функции в обозреваемой факторной области.

Выбор интервалов варьирования Δх_i зависит от условий работы устройства. Можно, например, использовать сетку допусков на параметры радиоэлементов. При проведении экспериментов фактор может принимать следующие значения:

х_i = х_i0 + Δх_i или х_i = х_i0 – Δх_i.

В дальнейшем удобнее использовать значения факторов не в натуральном масштабе, а их нормированные значения, которые находятся по формуле

, (23)

где x_i – текущее значение i-го фактора (значение i-го фактора на верхнем или нижнем уровне); х_i0 – номинальное значение i-го фактора; Δx_i – интервал варьирования i-го фактора.

Учитывая условие нормирования факторов, уравнение регрессии (22) можно переписать в следующем виде:

, (24)

где у – оценка генерального значения выходного параметра; х_i – нормированное значение i-го фактора; b₀, b_i, b_ii, b_iu – коэффициенты регрессии, используемые в уравнении регрес­сии с нормированными факторами:

, (25)

где B_i – i-й коэффициент регрессии, который используется в уравнении регрессии с факторами в натуральных единицах; Δх – интервал варьирования i-го фактора.

Условия, порядок проведения и результаты эксперимента записываются в таблицу, которая называется матрицей пла­нирования эксперимента, или просто планом.

2.3. Полный факторный эксперимент. Полным факторным экспериментом называется экспери­мент, включающий все возможные сочетания уровней факто­ров. Предположим, функция отклика у зависит от двух фак­торов х₁ и х₂, каждый из которых может принимать норми­рованные значения, равные +1 (верхнее значение) и –1 (нижнее значение). Матрица планирования полного фактор­ного эксперимента ПФЭ для двух факторов представлена табл. 1.

Таблица 1

^{Матрица планирования ПФЭ 2}2

№ опыта	х0	План эксперимента		Взаимодействия	Результаты наблюдений
		х1	х2	x1х2	у
1	+	+	+	+	у1
2	+	–	+	–	у2
3	+	+	–	–	у3
4	+	–	–	+	у4

Знаки в матрице планирования «+» или «–» подразу­мевают значения нормированного фактора, равные +1 или –1 соответственно, причем для простоты записи символ «1» опущен.

Собственно план проведения эксперимента включает два столбца значений х₁ и х₂. Можно видеть, что четыре опыта (четыре строки матрицы планирования) исчерпывают все возможные сочетания уровней двух факторов, т. е. количество опытов в ПФЭ

N=2^k, (26)

где k – число факторов. Для краткости планы ПФЭ, заданные таблицей, обозначают 2^k .

В матрицу планирования введена фиктивная переменная (фактор х₀), которая необходима для вычисления коэффициента регрессии b₀. При аппроксимации функции отклика неполным полиномом второго порядка необходимо рассчитать коэффициент регрессии b₁₂. Для расчета этого коэффициента регрессии в матрицу планирования вводится столбец взаимодействия х₁ х₂. Причем знаки для взаимодействия получаются простым перемножением х₁ и х₂ в соответствующей строке. В графу «результаты наблюдений» заносят значения выходного параметра, которые получаются при сочетании значений факторов i-й строки в процессе проведения эксперимента. Результаты наблюдений используются для расчета коэффициентов регрессии.

Таблица 2