Матрица планирования дфэ 23-1
-
№
x0
x1
x2
x3=x1x2
x2x3
x1x3
y
1
+
+
+
+
+
+
y1
2
+
–
+
–
–
+
y2
3
+
+
–
–
+
–
y3
4
+
–
–
+
–
–
y4
Нетрудно заметить, что приведенный в табл. 3 нормированный фактор x3 принимает такие же значения, как и взаимодействие x1x2, фактор x1 – как взаимодействие x2x3, фактор x2 – как взаимодействие x1x3.
Таким образом, как видно из табл. 3, полученные в результате ДФЭ коэффициенты регрессии для линейных эффектов оказались смешанными с коэффициентами регрессии эффектов парных взаимодействий (в матрице знаки фактора x1 совпадают со знаками взаимодействия х2x3, фактора x2 – с x1x3, а фактора х3 – с х1х2), что символически записывается следующим образом:
(27)
где βi, βiu – действительные оценки коэффициентов регрессии; bi – приближенные значения коэффициентов регрессии, полученные в результате проведения эксперимента и называемые оценками.
Очень часто влияние взаимодействий на функцию отклика гораздо меньше линейных эффектов. В этом случае можно считать, что β 23 = β13 = β12 = 0.
Тогда
Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной ПФЭ 23, который имел бы число опытов N = 8. Такой уменьшенный в два раза эксперимент называется полурепликой. Если бы мы приравняли х3 к х1х2, то получили бы вторую половину матрицы планирования 23. В этом случае оценки коэффициентов регрессии при линейных членах и парных взаимодействиях также были бы смешаны:
(28)
Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 23, который дает раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействий.
Таблица 4
Матрица планирования полуреплик 23-1
-
х3 = х1х2
х3 = – х1х2
№
х1
х2
х3
х1х2х3
№
х1
х2
х3
х1х2х3
1
+
+
+
+
1
+
+
–
–
2
–
+
–
+
2
–
+
+
–
3
+
–
–
+
3
+
–
+
–
4
–
–
+
+
4
–
–
–
–
Правило получения матриц планирования дробных реплик на основе матрицы планирования ПФЭ для k – 1 факторов можно сформулировать следующим образом: новому фактору присваивается столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Для обозначения дробных реплик, в которых е линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, пользуются записью 2k-e. Так, рассмотренная нами полуреплика ПФЭ 23 запишется как 23-1, а четвертьреплика от 25 – в виде 25-2 и т. д.
2.5. Определяющий контраст. Генерирующее соотношение. При построении полуреплики 23-1 существуют всего две возможности приравнять х3 к х1х2 или к – х1х2 (см. табл. 4). Как видно из табл. 4, для построчного произведения трех столбцов матрицы 1 выполняется соотношение х1х2х3 = 1, а для матрицы 2 – х1х2х3 = – 1.
Символическое обозначение произведений столбцов, равное +1 или –1, называется определяющим контрастом (ОК). Контраст помогает определять смешанные эффекты, или систему смешивания. Для того чтобы определить, какие эффекты смешаны с данным, нужно умножить обе части ОК на данный эффект. Так, если ОК 1=x1x2x3, то для х1 имеем х1=x12x2x3, а так как хi2=1, то x1=x2x3. Аналогично х2=х1x3; х3=х1x2 . Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками:
Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением (ГС). Например, для полуреплики 1 (табл. 4) ГС имеет вид x3 = x1x2, для полуреплики 2 (табл. 4) ГС будет – х3 = х1x2.