Тема: основи вибіркового методу. Статистичні характеристики вибірки

Мета: Засвоїти основи статистичного оцінювання характеристик випадкової величини на основі вибіркового підходу; набути навичок у використанні можливостей пакетів MathCAD та Statgraphics для розрахунку вибіркових характеристик.

Короткі теоретичні відомості

Означення. Вибіркою об’єму називається випадковий вектор , де - незалежна и однаково розподілена випадкова величина з функцією розподілення .

Означення. Нехай - вибірка з об’єму , - варіаційний ряд. Тоді число , де - кількість повторень варіанти у вибірці об’єму , називається частотою цієї варіанти.

Означення . Нехай – дискретна випадкова величина. Тоді таблиця

називається таблицею відносних частот або емпіричним законом розподілення. Графік – полігон.

Означення . Таблиця:

називається інтервальною таблицею частот. Графік – гістограма (по осі ).

Означення . Емпіричною функцією розподілення, побудованій за вибіркою об’єму називається випадкова функція , при , що дорівнює .

Таблиця. Теоретичні та емпіричні (вибіркові) моменти

Теоретичні характеристики	Емпіричні характеристики
Математичне сподівання:	Вибіркове математичне сподівання, середнє арифметичне
Дисперсія: СКВ:	Вибіркова дисперсія: ; Виправлена вибіркова дисперсія: Вибіркове СКВ: Виправлене вибіркове СКВ:
Початкові моменти -го порядку:	Вибіркові початкові моменти -го порядку:
Центральний момент -го порядку:	Центральний вибірковий момент го порядку:
Асиметрія:	Вибіркова асиметрія:
Ексцес:	Вибірковий ексцес:

Методичні рекомендації. Перш ніж приступити до виконання індивідуального завдання, необхідно опрацювати матеріал лекції №1 розділу «Математична статистика» курсу «Теорія ймовірностей та математична статистика», електронна версія якої міститься на веб-сервері кафедри. Далі отримати варіант завдання у викладача. Після цього приступити до опрацювання пункту методичних вказівок «Поставка задачі» і вивчення відповідного прикладу виконання завдання в середовищі MathCAD (Додаток А, або Додаток Б), електронна версія якого також міститься на веб-сервері кафедри у розділі «Методичні вказівки до самостійної роботи». Наступним етапом є виконання індивідуального завдання в середовищі MathCAD, а потім у середовищі Statgraphics. Після цього приступити до оформлення звіту.

Постановка задачі

Випадкова величина має розподіл , вектор параметрів якого відомий (див. варіанти завдань). Згенерувати дві вибірки випадкової величини за допомогою відповідного генератору псевдовипадкових чисел: відповідно обсягів та , що мають розподіл , обчислити і дослідити оцінку вектора параметрів розподілу та інші статистичні характеристики, зробити порівняльний аналіз оцінених характеристик між собою і з теоретичними характеристиками. Для цього необхідно (див. приклади у додатках А та Б):

1. Побудувати статистичний розподіл у вигляді інтервальної таблиці відносних частот. Для визначення оптимальної кількості інтервалів розбиття варіаційного ряду скористатися формулою Стерджесса (в пакеті MathCAD) та формулою згідно з [1]. Порівняти результати.

2. Побудувати графіки (в пакеті MathCAD):

а) емпіричної (сходинкової) та теоретичної функцій розподілу (на одному графіку);

б) теоретичної щільності розподілу та гістограму (на одному графіку) (для неперервних випадкових величин), або багатокутник розподілу та полігон (для дискретних випадкових величин).

3. Обчислити точкові незміщені і конзістентні оцінки вектору параметрів розподілу , математичного очікування , дисперсії , СКВ , центральних теоретичних моментів 3-го і 4-ого порядків, асиметрії та ексцесу :

а) шляхом використання відповідних формул в пакеті MathCAD;

б) в середовищі пакету MathCAD.

4. Побудувати графіки (в пакеті MathCAD):

а) неперервної (для неперервних випадкових величин) чи сходинкової (для дискретних випадкових величин) емпіричної (отриманої при підстановці оцінок параметрів у модель розподілу) та теоретичної функцій розподілу (на одному графіку); нижньої та верхньої меж довірчого інтервалу для згідно з теоремою Колмогорова [2] для ;

б) теоретичної щільності розподілу та гістограму (на одному графіку) для неперервних випадкових величин, або багатокутник розподілу для дискретних випадкових величин та гістограму (на одному графіку).

б) теоретичної щільності розподілу та емпіричної (на одному графіку) для неперервних випадкових величин (отриманої при підстановці оцінок параметрів у модель розподілу), або багатокутник розподілу та полігон (для дискретних випадкових величин) (на одному графіку) .

5. Дані звести у таблицю:

Таблиця – Теоретичні та емпіричні (вибіркові) числові характеристики випадкової величини

Назва числової характеристики	Теоретичні значення	Вибіркові значення, n=100	Вибіркові значення, n=1000
...	...	...	...
Математичне очікування
Дисперсія
виправлена
СКВ
Виправлене
Центральний момент 3-го порядку
Центральний момент 4-го порядку
Асиметрія
Ексцес

6. Зробити порівняльний аналіз теоретичних характеристик і їх вибіркових аналогів випадкової величини.

7. Скласти електронний звіт у форматі Microsoft Word згідно з вимогами ЄСКД. Структура звіту:

• Титульний аркуш (додаток Г);

• Постановка задачі (згідно з заданим варіантом);

• Короткі теоретичні відомості стосовно досліджуваного розподілу та методів розрахунків;

• Детальна схема виконання лабораторної роботи з необхідними екранними формами і поясненнями згідно з робочим завданням, результатами аналізу;

• Висновки;

• Перелік посилань.

До звіту додати:

• Файл Microsoft Excel (при необхідності) з матрицею згенерованих даних;

• Файл у форматі MathCAD 11 зі статистичним проектом;

• Файл даних з розширенням .sf універсального статистичного пакету STATGRAPHICS for Windows;

• Файл статистичного проекту з розширенням .sgp універсального статистичного пакету STATGRAPHICS for Windows.