Министерство образования и науки Российской Федерации

Костромской государственный технологический университет

Кафедра высшей математики

А.В. Чередникова, О.Б. Садовская, Л.А. Каминская

Дискретная математика. Теория и практика

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Кострома

КГТУ

2011

УДК 519.1 (075)

Чередникова А.В. Дискретная математика. Теория и практика / А.В. Чередникова, О.Б. Садовская, Л.А. Каминская. – Кострома: Изд-во Костром. гос. технол. ун-та, 2011. – 74 с.

В пособии рассматриваются следующие разделы дискретной математики: теория множеств, комбинаторика и общая алгебра. Теоретический материал изложен в доступной форме, но с сохранением необходимого уровня строгости изложения, сопровождается большим количеством примеров и решением типовых задач. Приведены разнообразные задачи и упражнения для самостоятельной работы.

Пособие предназначено для студентов бакалавриата по направлениям подготовки 090900 «Информационная безопасность», 230100 «Информатика и вычислительная техника», 230400 «Информационные системы и технологии».

Рецензенты: кафедра алгебры и геометрии

КГУ им. Н.А.Некрасова;

кандидат физ.-мат. наук, доцент

Н.Л. Марголина

© Костромской государственный технологический университет, 2011

Оглавление

Предисловие 5

Введение 5

Глава 1. Множества 6

1.1. Множества и их элементы. Способы задания множеств 6

1.2. Подмножества 8

1.3. Операции над множествами 8

1.4. Диаграммы Эйлера – Венна 11

1.5. Прямое произведение множеств 12

1.6. Метод математической индукции 14

1.7. Соответствия 15

1.8. Задачи, связанные с определением мощности конечного множества 18

Задачи и упражнения к главе 1 21

Глава 2. Комбинаторика 24

2.1. Правила суммы и произведения 25

2.2. Размещения и сочетания 26

2.3. Примеры решения задач 29

2.4. Бином Ньютона 30

2.5. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля 32

Задачи и упражнения к главе 2 32

Глава 3. Отношения. Отображения 34

3.1. Понятие отношения 34

3.2. Способы задания бинарных отношений 36

3.3. Операции над бинарными отношениями 36

3.4. Свойства матриц бинарных отношений 37

3.5. Свойства бинарных отношений 38

3.6. Определение свойств бинарного отношения по его матрице 39

3.7. Отношение эквивалентности 41

3.8. Счетные и несчетные множества 43

3.9. Отношение порядка. Диаграммы Хассе 47

3.10. Функции 50

Задачи и упражнения к главе 3 51

Глава 4. Алгебраические структуры 55

4.1. Алгебраические операции и их свойства 55

4.2. Понятие алгебраической структуры 57

4.3. Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией 59

4.4. Алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями 61

4.5. Конечные поля 63

4.6. Булевы алгебры 65

4.7. Гомоморфизмы алгебр 67

4.8. Алгебраические системы. Решетки 69

Задачи к главе 4 71

Список литературы 72

Предисловие

В настоящем учебном пособии рассматриваются элементы следующих разделов дискретной математики: теории множеств (множества, отношения, функции), комбинаторики и общей алгебры (алгебраические системы).

Для краткой записи утверждений будем использовать следующие обозначения символов:

 (квантор общности) читается «для любого», «для каждого», «для всех»;

 (квантор существования) – «найдется», «существует», «хотя бы для одного»;

 (импликация, знак логического следования) – «если …, то …», «следует»;

 (эквиваленция, знак логической равносильности) – «тогда и только тогда».

Для любых предложений A и B запись A B означает, что предложения A и B равносильны по определению (от англ. definition – определение).

Знак  будет обозначать конец примера, замечания или доказательства утверждения (при его отсутствии знак  будет ставиться непосредственно после формулировки).