- •Дискретная математика. Теория и практика
- •Оглавление
- •Глава 1. Множества 6
- •Глава 2. Комбинаторика 24
- •Глава 3. Отношения. Отображения 34
- •Глава 4. Алгебраические структуры 55
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Множества
- •1.1. Множества и их элементы. Способы задания множеств
- •1.2. Подмножества
- •1.3. Операции над множествами
- •1.4. Диаграммы Эйлера – Венна
- •1.5. Прямое произведение множеств
- •1.6. Метод математической индукции
- •1.7. Соответствия
- •1.8. Задачи, связанные с определением мощности конечного множества
- •Задачи и упражнения к главе 1
- •Глава 2. Комбинаторика
- •2.1. Правила суммы и произведения
- •2.2. Размещения и сочетания
- •2.3. Примеры решения задач
- •2.4. Бином Ньютона
- •2.5. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля
- •Задачи и упражнения к главе 2
- •Глава 3. Отношения. Отображения
- •3.1. Понятие отношения
- •3.2. Способы задания бинарных отношений
- •Характеристическим свойством.
- •3.3. Операции над бинарными отношениями
- •3.4. Свойства матриц бинарных отношений
- •3.5. Свойства бинарных отношений
- •3.6. Определение свойств бинарного отношения по его матрице
- •3.7. Отношение эквивалентности
- •3.8. Счетные и несчетные множества
- •3.9. Отношение порядка. Диаграммы Хассе
- •3.10. Функции
- •Задачи и упражнения к главе 3
- •Глава 4. Алгебраические структуры
- •4.1. Алгебраические операции и их свойства
- •4.2. Понятие алгебраической структуры
- •4.3. Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией
- •4.4. Алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями
- •4.5. Конечные поля
- •4.6. Булевы алгебры
- •4.7. Гомоморфизмы алгебр
- •4.8. Алгебраические системы. Решетки
- •Задачи к главе 4
- •Список литературы
4.4. Алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями
Среди алгебр с двумя бинарными алгебраическими операциями особо выделяются кольца и поля.
Определение 4.21. Алгебра А = < А, +, ∙ > называется ассоциативным кольцом с единицей, если выполняются следующие условия (аксиомы):
алгебра < A, + > есть коммутативная аддитивная группа;
алгебра < A, ∙ > есть мультипликативный моноид;
умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть и .
Замечание 4.5. В дальнейшем под словом «кольцо» будем подразумевать ассоциативное кольцо с единицей.
Элементы множества А называются элементами кольца А = < А, +, ∙ >.
Определение 4.22. Группа < A, + > называется аддитивной группой кольца А = < А, +, ∙ >. Нейтральный элемент относительно сложения называется нулем кольца и обозначается через 0 или 0А.
Определение 4.23. Моноид < A, ∙ > называется мультипликативным моноидом кольца А = < А, +, ∙ >. Нейтральный элемент относительно умножения называется единицей кольца А и обозначается через 1 или 1А.
Определение 4.24. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна, т.е. .
Пример 4.14. Алгебра < Z, +, ∙ > образует коммутативное кольцо целых чисел.
Определение 4.25. Полем называется коммутативное кольцо, в котором нуль кольца отличен от единицы кольца и для каждого ненулевого элемента существует обратный к нему относительно операции умножения.
Пример 4.15. Кольцо целых чисел < Z, +, ∙ > полем не является, так как ни один ненулевой элемент, кроме 1, не обладает обратным к нему.
Пример 4.16. Множества Q, R и С образуют бесконечные поля относительно обычных операций сложения и умножения, которые соответственно называются полем рациональных чисел, полем действительных чисел и полем комплексных чисел.
Пример 4.17. Выяснить, образует ли алгебра < >
кольцо, поле?
Решение. Докажем сначала, что операции сложения и умножения матриц являются бинарными алгебраическими операциями на множестве
М = . Для этого достаточно показать замкнутость множества М относительно этих операций.
= M.
Следовательно, операции «+» и «» – бинарные алгебраические операции на М.
Сложение произвольных матриц (если оно определено) коммутативно и ассоциативно. Значит, «+» коммутативно и ассоциативно на М. Очевидно, что матрица М есть нейтральный элемент относительно «+», а
М – противоположный элемент для произвольной матрицы из множества М. Следовательно, < М, + > – коммутативная группа.
Умножение произвольных матриц (если оно определено), а значит и матриц из множества М, является ассоциативной операцией. Пусть – произвольная матрица из множества М.
= =
b = при x 0. Отсюда xa + = x. Выполним преобразования:
x2a + y2 – y2a = x2 y2 (1 – a) = x2 (1 – a) 1 – a = 0 a = 1 b = = 0.
Если x = 0, то . Так как y – произвольное действительное число, то и в этом случае получаем, что a = 1 и b = 0. Получили, что
М – нейтральный элемент относительно «». Следовательно,
< М, > – моноид.
Известно, что умножение дистрибутивно относительно сложения для произвольных матриц (если операции имеют смысл), в частности, и для матриц из множества М.
Таким образом, алгебра < М, +, > – кольцо.
= = = .
Получили, что «» – коммутативно. Следовательно, кольцо коммутативно. Нуль кольца отличен от единицы кольца: ≠ . Выясним, для каждого ли ненулевого элемента из множества М существует обратный к нему. Легко видеть, что роль обратного элемента к матрице из М играет обратная к ней матрица.
≠ 0 x2 – y2 ≠ 0 x2 y2 x ± y.
Значит, множество М содержит ненулевые матрицы, например матрицу , для которых не существуют обратные к ним.
Итак, алгебра < М, +, > образует коммутативное кольцо, но не является полем.