4.7. Гомоморфизмы алгебр

Пусть А = < A, f₁, …, f_m > и В = < В, > – однотипные алгебры, то есть для любого iÎ{1, …, m} операция f_i алгебры А и соответствующая ей операция алгебры В имеют одинаковые ранги. Говорят, что отображение h носителя А в носитель В сохраняет операцию _fi алгебры А, если

(" a₁,…, Î A) h (f_i (a₁, …, )) = (h(a₁), …, h( )), (14)

где n_i – ранг операции f_i.

Определение 4.31. Гомоморфизмом алгебры А в (на) однотипную алгебру В называют такое отображение h носителя A в (на) носитель В, которое сохраняет все операции алгебры А , то есть для любой операции f_i (i = 1, …, m) алгебры А выполняется условие (*).

Определение 4.32. Гомоморфизм h алгебры А в алгебру В называется мономорфизмом (или вложением), если h является инъективным отображением носителя А в носитель В.

Определение 4.33. Гомоморфизм алгебры А на алгебру В называется эпиморфизмом.

Определение 4.34. Гомоморфизм h алгебры А на алгебру В называют изоморфизмом, если h есть инъективное отображение носителя А на

носитель В.

Определение 4.35. Алгебры А и В называются изоморфными, если существует изоморфизм алгебры А на алгебру В. При этом пишут А @ В.

Другими словами, отображение h является изоморфизмом алгебры А на алгебру В, если h – биективное отображение носителя А на носитель В.

Определение 4.36. Гомоморфизм алгебры А в себя называется эндоморфизмом.

Определение 4.37. Изоморфизм алгебры А на себя называется автоморфизмом.

На рис. 4.1 представлена схема определения частного случая гомоморфизма.

Пример 4.22. Дано отображение

h: , где .

Выяснить, является ли h гомоморфизмом. Если да, то какой частный случай гомоморфизма имеет место.

Решение. Пусть . Проверим, сохраняет ли h операцию , то есть выполняется ли условие:

= .

Преобразуя левую и правую части равенства, получим: = = = , (15)

. (16)

Из (15) и (16) следует, что h – гомоморфизм алгебры в алгебру .

Далее выясним, является ли отображение h инъективным или сюръективным.

h – инъекция = = = .

Это условие не выполняется, так как для любых ¹ . Следовательно, отображение h не является инъективным.

h – сюръекция Im h = .

Имеем, ¹ Æ. Значит, h – сюръекция.

Таким образом, h – эпиморфизм алгебры на алгебру (см. рис. 4.1). 

Пример 4.23. Дано отображение , где ( – множество положительных действительных чисел).

Решение. Проверим, сохраняет ли h операцию +, то есть выполняется ли условие: .

Преобразуя левую и правую части равенства, получим:

, (17)

. (18)

Из (17) и (18) следует, что h – гомоморфизм алгебры в алгебру .

Далее, Следовательно, h – инъекция.

Имеем: . Следовательно, h – сюръекция.

Значит, h является изоморфизмом алгебры на алгебру .