Задачи к главе 4

1. Является ли операция (a, b) ab - ba бинарной алгебраической операцией на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z + 1, R, R₊, Q [ ]? Если является, то есть ли во множестве нейтральный элемент относительно нее?

2. Пусть М(2, R) = . Проверить, является ли подалгеброй алгебры <М(2,R), × > следующее множество матриц:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

3. Определить, какими алгебраическими структурами являются следующие алгебры: < N, + >; < Q, +, × >; < R \ {0}, × >; < 3Z, + >; < Z, – >; <C, +, × >;

< N, × >; < Q \ {0}, × >; < R, +, × >; < Z, × >; < Q, + >; < C, + >.

4. Доказать, что множество степеней числа 2 с целыми показателями образует коммутативную группу относительно обычной операции умножения рациональных чисел.

5. Доказать, что множество геометрических векторов на плоскости, лежащих на одной или параллельных прямых, образует коммутативную группу относительно операции сложения.

6. Пусть L = {aх + b a, b Î R} – множество линейных функций. Доказать, что множество L является некоммутативной группой относительно операции композиции функций.

7. Доказать, что множество невырожденных квадратных матриц порядка n образует группу относительно операции умножения матриц.

8. Является ли следующая алгебра группой: а) <P({1,2}), È >; б) <P({1,2}), Ç >?

9. Доказать, что алгебра <R,  >, где a b = a + b – 2, является группой.

10. Пусть Е = { , , } есть множество поворотов вокруг центра правильного треугольника, переводящих треугольник в себя, где , и – повороты на угол 0, , соответственно. На множестве Е введем операцию умножения поворотов следующим образом: поворот получается в результате последовательного выполнения поворотов и . Построить таблицу Кэли для операции умножения. Выяснить, какую алгебраическую структуру образует множество Е относительно умножения.

11. Выяснить, образует ли кольцо (относительно + и ×) множество nZ целых чисел, кратных данному натуральному числу n.

12. Доказать, что множество квадратных матриц порядка n с действительными элементами образует некоммутативное кольцо относительно операции сложения и умножения матриц.

13. Укажите, в какой из классов вычетов , ,…, попадает каждое число: 307, –38, 25, –40, –10, 13, 85, –15, 43, если: а) n = 10; б) n = 2; в) n = 5;

г) n = 7; д) n = 6.

14. Истинно ли высказывание: а) 13 Î (mod 7); б) 85 Î (mod 7)?

15. Построить таблицу Кэли кольца Z₄, указать его обратимые элементы и делители нуля, то есть элементы а, удовлетворяющие условию а× b = 0, где b – некоторый ненулевой элемент.

16. Доказать, что алгебра Z_n = <Z_n, +, × > – коммутативное кольцо.

17. Какие из следующих множеств матриц образуют поле относительно сложения и умножения матриц:

а) ; б) ;

в) ; г) .

18. Доказать, что множество Q [ ] = {a + b a, b Î R} образует поле относительно обычных операций сложения и умножения действительных чисел. Найти в этом поле элемент, обратный к элементу 1 – 2 .

19. Выяснить, является ли отображение гомоморфизмом указанных алгебр. Если да, то какой это вид гомоморфизма.

а) f: < R, + > → < {2^x│xÎR}, × >, f(x) = 2^x.

б) h: < , +, × > → <{a+b │a, b Î Z}, +, × >,

h = a + b .

в) h: < , +, × > → < Z, +, × >, h = a.