3.3. Случайные погрешности измерений

Факторы, определяющие возникновение случайных погреш­ностей, проявляются нерегулярно, в различных комбинациях и с интенсивностью, которую трудно предвидеть. Случайная погрешность случайно изменяется при повторных измерениях одной и той же физической величины. Однако если оперировать исправ­ленными результатами измерений, т.е. такими, из которых ис­ключены систематические погрешности, то чисто случайные по­грешности будут обладать следующими свойствами:

• равные по абсолютной величине положительные и отрица­тельные погрешности равновероятны;

• большие погрешности наблюдаются реже, чем малые;

• с увеличением числа измерений одной и той же величины среднее арифметическое погрешностей стремится к нулю, и, сле­довательно, среднее арифметическое результатов измерений стре­мится к истинному значению измеряемой величины.

Фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке средства измерения, не характеризует его точности. Для оценки интервала значений погрешностей и вероятности появле­ния определенных значений необходимы многократные измерения и использование математического аппарата теории вероятностей.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциаль­ных функций распределения.

Интегральной функцией распределения называют функцию, значение которой для каждого является вероятностью появления значений (в i-м наблюдении), меньших :

=P

(3.1)

где Р — символ вероятности события, описание которого за­ключено в фигурных скобках.

Обычно график интегральной функции распределения резуль­татов наблюдений представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля на отрицательной бесконечно­сти и асимптотически приближающуюся к единице при увеличе­нии аргумента до плюс бесконечности.

Если интегральная функция имеет точку перегиба при значе­нии , близком к истинному значению измеряемой величины, и принимает в этой точке значение, равное 0,5, то говорят о сим­метричности распределения результатов (рис. 3.3, а).

Более наглядным является описание свойств результатов на­блюдений, содержащих случайные погрешности, с помощью диф­ференциальной функции распределения, иначе называемой плот­ностью распределения вероятностей (рис. 3.3, б):

(3.2)

Поскольку , то , т.е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ( ) равна площа­ди, заключенной между абсциссами и :

(3.3)

Рис. 3.3. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распреде­ления случайной величины: — значения измеряемой величины; — заданный интервал; — значения интегральной функции в начальной и конечной точках заданного ин­тервала; — центр распределения; — дифференциальная функция распреде­ления; — площадь, заключенная между кривой дифференциальной функ­ции распределения и осью абсцисс

Отыскание функций распределения требует проведения весьма трудоемких исследований и вычислений. На практике встречаются трапециидальные, уплощенные, экспоненциальные и другие виды распределений. Однако для наибольшего числа встречающихся на практике случайных величин можно ожидать распределение по так называемому закону нормального распределения (закону Гаусса).

Теоретически доказано, что распределение случайных погреш­ностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Плотность нормального распределения вероятностей для случайной величины (рис. 3.4, а) описывается уравнением:

(3.4)

где и - математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение, являющиеся основными параметрами нормального распределения; - основание натурального логарифма.

Кривая имеет точки перегиба, соответствующие абсциссам .

Если данную кривую рассматривают как плотность распределения случайных погрешностей, то начало координат переносят в центр распределения и по оси абсцисс откладывают значения погрешностей (рис. 3.4, б). Уравнение принимает вид:

(3.5)

Математическое ожидание случайной величины

представляет собой оценку истинного значения измеряемой ве­личины. Математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Дисперсия результатов наблюдений является характеристикой их рассеивания:

(3.6)

Она имеет размерность квадрата измеряемой величины и не всегда удобна для использования в качестве характеристики рас­сеивания.

Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений имеет размерность измеряемой величины и наиболее часто используется в качестве основного параметра, характеризующего рассеивание результатов измерений.

а

б

Рис. 3.4. Кривая нормального распределения случайной величины (а) и случайной

погрешности (б): — дифференциальная функция распределения случайной

величины; — дифференциальная функция распределения случайной погрешности;

— среднее квадратическое отклонение; — погрешность;

— математическое ожидание

Если абсцисса функций нормального распределения выража­ется в долях среднего квадратического отклонения:

(3.7)

и начало координат находится в центре распределения, то распределение называется нормированным. Уравнения дифференциальной и интегральной функций нормированного нормального распределения принимают следующий вид:

;

(3.8)

Определенный интеграл

(3.9)

называют функцией Лапласа. Заметим, что .

Значения функции Лапласа для различных значений t приведены в табл. 3.1.

Приведенные в табл. 3.1 значения показывают, что случайная погрешность при одноразовом измерении не выйдет за пределы интервала с вероятностью ≈ 0,68 (0,3413·2), т.е. 68% измере­ний будут иметь погрешность .

Таблица 3.1