Значения функции Лапласа

0,0	0,0000	1,0	0,3413	2,0	0,4772	3,0	0,4986
0,1	0398	1,1	3643	2,1	4821	3,5	4998
0,2	0793	1,2	3849	2,2	4861	4,0	4999
0,3	1179	1,3	4032	2,3	4893		0,5
0,4	1554	1,4	4192	2,4	4918
0,5	1915	1,5	4332	2,5	4938
0,6	2257	1,6	4452	2,6	4953
0,7	2580	1,7	4554	2,7	4965
0,8	2881	1,8	4641	2,8	4974
0,9	3159	1,9	4713	2,9	4981

В интервале погрешность находится с вероятностью ≈ 0,95 (0,4772·2), в интервале — с вероятностью 0,9973, т.е. вероятность того, что случайная по­грешность не выйдет за пределы , составляет 0,9973, или 99,73 %. На практике с учетом интервала часто указывают предельную погрешность для некоторых средств измерений. В ряде случаев для средства измерения указывают среднее квадратическое отклоне­ние случайной погрешности, а доверительную вероятность выби­рают в зависимости от конкретных условий.

В производственной практике часто считается необходимым выполнение следующего условия: допустимое предельное откло­нение от заданного номинального размера должно быть не мень­ше интервала . В этом случае в среднем только одно из 370 изделий будет бракованным.

Область технологического рассеивания какого-либо размера (па­раметра) изделия, как правило, подчиняется нормальному зако­ну, и периодически определяемое среднее квадратическое откло­нение является показателем изменений в технологическом цикле.

3.4. Обработка результатов измерений, содержащих случайные погрешности

На практике приходится довольствоваться ограниченным чис­лом измерений для того, чтобы оценить истинное значение измеряемой величины и точность измерения. Если число измерений велико (более 100), то кривую распределения можно построить достаточно точно, и если она соответствует нормальному закону, то графически определяется математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение . Результаты измерений делят на 10...20 интервалов и записывают в виде статистиче­ского ряда

			…
			…
			…

Примечание: — число результатов в интер­вале; — вычисленная вероятность попадания в дан­ный интервал.

При этом ; .

Статистический ряд служит основой для построения гисто­граммы и статистической функции распределения (рис. 3.5). При гистограмма переходит в плавную кривую.

Соответствие полученной кривой закону нормального распре­деления проверяют по критериям Пирсона или Холмогорова.

Если измерений меньше 15, то принадлежность эксперимен­тального распределения к нормальному не проверяется.

Рис. 3.5. Построение гистограммы и статистической функции распреде­ления по опытным данным: — принятый интервал; — вероятность попадания соответственно в интервалы 1 и 2; — ордината функции распределения в точке 1

При обработке результатов ограниченного числа наблюдений в качестве оценки математического ожидания принимается сред­нее арифметическое результатов наблюдений:

(3.10)

Приближенное значение среднего квадратического отклонения в этом случае вычисляется по формуле:

(3.11)

Появление в знаменателе выражения вместо п связано с заменой математического ожидания средним арифметическим незначительного числа наблюдений.

Среднее арифметическое отличается от математического ожи­дания на величину случайной погрешности (погрешности среднего значения), которая подчиняется тому же закону распределения, что и погрешности результатов отдельных наблюдений.

Дисперсия среднего арифметического вычисляется по формуле:

(3.12)

а среднее квадратическое среднего арифметического — по формуле:

(3.13)

При увеличении числа наблюдений и .

Границы доверительного интервала, в котором с заданной вероятностью (обеспеченностью) находится случайная погрешность среднего арифметического, определяют по формуле:

.

(3.14)

При числе наблюдений значения коэффициента определяют по таблицам функции Лапласа (см. табл. 3.1), а при -по таблицам функции Стьюдента (табл. 3.2, 3.3).

Зная число наблюдений и задавшись доверительной вероят­ностью , можно найти по табл. 3.2 значение и, умножив его на , определить границы доверительного интервала. В тех случаях, когда требуется определить доверительную вероятность при за­данном , удобнее пользоваться табл. 3.3.

Таблица 3.2.