10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
10.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными, однородные
Основные понятия: дифференциальное уравнение первого порядка, решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши, частное решение, интегральная кривая, теорема существования и единственности решения задачи Коши; дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение первого порядка [1, с. 417-421].
Дифференциальным
уравнением первого порядка относительно
искомой функции
называется уравнение вида
.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид
.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде
или
.
При решении таких уравнений сначала разделяют переменные , потом находят общий интеграл, при этом возможна потеря решений (см. решение типовых задач, пример 3).
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид
(10.1)
или
,
где
и
однородные функции степени
,
т.е.
и
.
Однородное
уравнение (10.1) с помощью подстановки
(
),
где
новая
неизвестная функция, приводится к
дифференциальному уравнению с
разделяющимися переменными.
Задачи а
1. Является
ли функция
решением уравнения
?
2. Найти
общее решение дифференциального
уравнения
.
3. Решить
задачу Коши
.
4. Проверить,
что функции
и
являются решениями уравнения
проходящими через точку (0; 0). Какое
условие теоремы существования и
единственности решения здесь нарушается?
5. Какие
из дифференциальных уравнений являются
уравнениями с разделяющимися переменными:
а) 
;
б)
; в) 
?
6. Найти общее решение дифференциального уравнения .
7. Установить соответствие между дифференциальными уравнениями:
1)
2)
3)
и общими решениями:
А)
В)
С)
D)
8. Какие из дифференциальных уравнений являются однородными уравнениями:
а)
;
б)
;
в)
?
Задачи Б
Решить дифференциальные уравнения:
9.
. 10.
. 11. 
;
Решить задачу Коши:
12.
. 13.
.
14.
.
15.
Построить интегральную кривую уравнения
,
проходящую через точку
.
Домашнее задание
16. Является ли функция решением уравнения ?
Решить дифференциальные уравнения:
17.
.
18.
.
19.
.
Решить задачу Коши:
20.
,
.
21.
.
Дополнительные задачи
22. Решить
дифференциальное уравнение
.
Решить задачу Коши:
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
Решение типовых задач
Пример 1.
Проверить, являются ли функции
,
решениями дифференциального уравнения
.
Функция
будет решением, т.к.
и
для всех
А функция
не является решением дифференциального
уравнения ни на каком интервале, т.к.
и равенство
выполняется только для отдельных
значений
– нет такого интервала, на котором
равенство выполнялось бы для всех
.
Пример 2.
Решить задачу Коши
.
Исходное уравнение можно записать в
виде
.
Разделяя переменные, будем
иметь
.
Интегрируя по
обе части этого уравнения
,
,
получим общий интеграл
,
.
Потенцируя последнее
равенство, получим
или
,
где
,
.
Решением уравнения также
будет:
.
Таким образом, общее решение
дифференциального уравнения имеет вид
,
.
Далее, используя заданное
начальное условие
,
получим
,
откуда
.
Следовательно, искомое частное решение
имеет вид
.
Пример 3.
Решить уравнение
.
Разделяя переменные и интегрируя
,
получим
,
или
,
где
,
.
При делении на
и
потеряли решения
,
.
Итак, общее решение уравнения имеют
вид:
.
Решениями также являются
.
Пример
4.
Решить дифференциальное уравнение
.
Разделив обе части уравнения на
,
получим
.
Это однородное дифференциальное
уравнение. Полагаем
,
тогда
и уравнение принимает вид
или
.
Это уравнение с разделяющимися
переменными:
,
,
.
Так как
,
то общий интеграл уравнения:
.
Ответы
9.
10. 
.
11.
.
12.
.
13. 
.
14.
.
15. 
.
16. Да.
17.
.
18. 
,
.
19. 
20. 
.
21.
.
22. 
,
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26.
.
10.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Основные понятия: линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли [1, с. 422-423].
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
.
По
методу Бернулли (см. комментарий с. 226)
решение этого уравнения ищут в виде:
.
(см. решение типовых задач, пример 1).
Линейное
дифференциальное уравнение первого
порядка относительно функции
:
.
Уравнение Бернулли имеет вид:
.
Решение
уравнения Бернулли можно также искать
в виде
.
Задачи А
1. Определить типы уравнений и указать способы их решения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
.
Задачи Б
Решить дифференциальные уравнения:
2.
.
3.
.
4.
.