- •Задачи а
- •6. Найти общее решение дифференциального уравнения .
- •16. Является ли функция решением уравнения ?
- •10.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- •5. Решить задачу Коши: .
- •10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Задачи а
- •5. Решить задачу Коши:
- •18. Решить задачу Коши: .
- •10.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •2. Решить задачу Коши .
- •14. Решить задачу Коши .
- •19. Решить задачу Коши .
- •10.5. Численные методы решения дифференциальных уравнений: метод Эйлера, метод Рунге – Кутты
- •Задания для выполнения лабораторной работы
- •Решение типовых задач
- •Контрольные задания по теме «Дифференциальные уравнения»
- •4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
- •6. Найти общее решение дифференциального уравнения
- •12. Найти общее решение дифференциального уравнения .
10.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Основные понятия: линейное однородное и неоднородное уравнения, фундаментальная система решений, общее решение, специальная правая часть [1, с. 435-449].
1. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
, . (10.3)
Общее решение линейного однородного уравнения (10.3) всегда представляет линейную комбинацию двух частных решений , образующих фундаментальную систему решений, вид которых зависит от корней характеристического уравнения Общее решение уравнения (10.3) приведено в табл. 10.1, в которой корни характеристического уравнения имеют вид где
Таблица 10.1.
|
Корни характеристического уравнения |
Общее решение
|
>0 |
|
|
=0 |
|
|
<0 |
|
|
2. Общее решение линейного неоднородного уравнения ( )
(10.4)
имеет вид
(10.5)
где общее решение соответствующего однородного уравнения (10.3), частное решение уравнения (10.4).
I. Если правая часть уравнения (10.4) имеет специальный вид
где многочлен степени , заданное число, то частное решение выбирается в соответствии с табл. 10.2 (см. решение типовых задач, пример 2).
Таблица 10.2
Соотношение между числом и корнями характеристического уравнения |
Вид частного решения |
Вид многочлена с неизвестными коэффициентами при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Если правая часть уравнения (10.4) имеет специальный вид
где , заданные числа, то частное решение находят в в соответствии с табл. 10.3 (см. решение типовых задач, пример 3).
Табл.10.3.
Соотношение между числом и корнями характеристического уравнения |
Вид частного решения ( и неизвестные коэффициенты) |
|
|
|
|
Задачи А
1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:
а) ; б) ; в) ;
г) , д) .
2. Решить задачу Коши .
3. Указать вид частного решения неоднородного уравнения, не находя неопределенных коэффициентов:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Задачи Б
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
4. . 5. . 6. .
Решить задачу Коши:
7. . 8. .
Домашнее задание
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
9. а) , б) , в) .
10. . 11. .
12. . 13. .
14. Решить задачу Коши .
Дополнительные задачи
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
15. . 16. .
17. . 18. .