5. Решить задачу Коши: .
Домашнее задание
Решить дифференциальные уравнения:
6.
.
7.
.
Решить задачу Коши:
8.
.
9.
.
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения:
10.
.
11.
. 12.
.
Решение типовых задач
Пример
1.
Решить уравнение
.
Это линейное дифференциальное уравнение.
Полагаем
,
тогда
и уравнение принимает вид
или
.
(10.2)
Функцию
найдем из условия, чтобы обращался в
нуль коэффициент при
в
уравнении (10.2):
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Тогда
,
откуда находим любое отличное от нуля решение:
.
Подставляя найденную функцию в (10.2), получим:
,
,
Откуда
.
Следовательно, общее решение данного
дифференциального уравнения:
.
Ответы
2.
3.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Основные понятия: дифференциальное уравнение второго порядка, решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши, частное решение, теорема существования и единственности решения задачи Коши; уравнения, допускающие понижения порядка [1, стр. 431-435].
Дифференциальное уравнение второго
порядка относительно искомой функции
в общем случае записывается в виде
или, если это возможно, в виде, разрешенном
относительно второй производной
.
I. Простейшее уравнение
2-го порядка:
.
Решение этого уравнения получается путем двукратного интегрирования.
II. Уравнения, не содержащие
явно неизвестной функции
это уравнения вида
.
Порядок уравнения понижают, полагая
,
тогда
.
III. Уравнения, не содержащие
явно независимой переменной имеют вид:
Порядок уравнения понижают, полагая
,
тогда
.
Задачи а
1. Проверить,
является ли функция
решением дифференциального
уравнения
.
2.
Показать, что уравнение
имеет интегральные кривые
и
,
пересекающиеся в точке
Противоречит ли это
теореме существования и единственности
решения задачи Коши?
3. Используя методы понижения порядка, свести к уравнениям первого порядка следующие дифференциальные уравнения:
а)
;
б)
; в)
;
г)
;
д)
; е)
.
4. Найти
общее решение уравнения
.
Задачи Б
5. Решить задачу Коши:
Решить уравнения:
6.
.
7.
.
Решить задачу Коши:
8.
9.
Домашнее задание
Решить уравнения:
10.
.
11.
.
Решить задачу Коши:
12.
.
13.
.
Дополнительные задачи
Решить уравнения:
14.
.
15.
.
16.
. 17.
.
18. Решить задачу Коши: .
Решение типовых задач
Пример 1. Найти общее решение уравнения
.
Последовательно интегрируя два раза данное уравнение, получим
,
,
.
Пример 2. Найти частное решение
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Полагаем , тогда и уравнение принимает вид
или
Это линейное уравнение
относительно функции
Найдем решение этого уравнения методом
Бернулли. Полагаем
Имеем:
или
.
Подберем функцию
так, чтобы
.
Тогда
,
.
Получаем
,
,
.
Следовательно,
.
Из условия
получаем
.
Имеем
или
.
Интегрируя, получим
.
Находим
из
начальных условий:
,
.
Таким образом,
искомое
частное решение.
Пример 3. Найти частное решение
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Полагаем
,
тогда
и уравнение принимает вид
.
Так как
(иначе
,
что противоречит начальному условию
),
то
Это уравнение с разделяющимися
переменными. Решая его, получим
.
Из начальных условий
получаем
.
Откуда имеем
.
Следовательно,
или
.
Разделяя переменные и интегрируя,
получим
.
Из условия
находим
.
Таким образом,
искомое
частное решение данного уравнения.
Ответы
5.
.
6. 
.
7.
.
8. 
.
9.
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.