- •Задачи а
- •6. Найти общее решение дифференциального уравнения .
- •16. Является ли функция решением уравнения ?
- •10.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- •5. Решить задачу Коши: .
- •10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Задачи а
- •5. Решить задачу Коши:
- •18. Решить задачу Коши: .
- •10.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •2. Решить задачу Коши .
- •14. Решить задачу Коши .
- •19. Решить задачу Коши .
- •10.5. Численные методы решения дифференциальных уравнений: метод Эйлера, метод Рунге – Кутты
- •Задания для выполнения лабораторной работы
- •Решение типовых задач
- •Контрольные задания по теме «Дифференциальные уравнения»
- •4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
- •6. Найти общее решение дифференциального уравнения
- •12. Найти общее решение дифференциального уравнения .
19. Решить задачу Коши .
Решение типовых задач
Пример 1. Определить вид частного решения (неопределенных коэффициентов не находить) уравнения , если
а) ; б) ; в) ; г) .
Характеристическое уравнение ; его корни .
а) Правая часть вида , где , т.е. и . Следовательно, .
б) Правая часть вида , где , т.е. и . Следовательно, .
в) Правая часть вида , где , т.е. и . Следовательно, .
г) правая часть вида , где ; ; , , . Следовательно, .
Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Общее решение уравнения находится по формуле (10.5). Характеристическое уравнение ; его корни . Общее решение соответствующего однородного уравнения .
Правая часть данного уравнения вида , где , т.е. и . Следовательно, (см. табл.10.2). Подставляя , , в данное уравнение, получим , . Таким образом, и общее решение уравнения .
Тогда . Найдем и , используя начальные условия.
Из
Итак, искомое частное решение имеет вид .
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Общее решение уравнения находится по формуле (10.5). Характеристическое уравнение: ; его корни . Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .
Правая часть данного уравнения вида , где ; ; , , корень характеристического уравнения. Следовательно, подставляя ( см. табл. 10.3), ,
в данное уравнение и приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при получим . Общее решение данного уравнения имеет вид .
Ответы
4. . 5. .
6. . 7. . 8. . 9. а) ; б) ; в) . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. .
10.5. Численные методы решения дифференциальных уравнений: метод Эйлера, метод Рунге – Кутты
Основные понятия: численные методы решений дифференциальных уравнений [1, с. 425-428]
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной
, .
Требуется найти решение на отрезке , где .
Разобьем отрезок на равных частей и получим последовательность где , а шаг интегрирования.
В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формуле
. (10.6)
По методу Рунге – Кутты (см. комментарий с. 230) второго порядка точности приближенные значения вычисляются по формуле
,
где . (10.7)
Задания для выполнения лабораторной работы
Задача 1. Получить численное решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке методом Эйлера. Шаг интегрирования принять равным .
1.1. , на отрезке .
1.2. , на отрезке .
1.3. , на отрезке .
1.4. , на отрезке .
1.5. , на отрезке .
1.6. , на отрезке .
1.7. , на отрезке .
1.8. , на отрезке .
1.9. , на отрезке .
1.10. , на отрезке .
1.11. , на отрезке .
1.12. , на отрезке .
1.13. , на отрезке .
1.14. , на отрезке .
1.15. на отрезке .
1.16. , на отрезке .
1.17. , на отрезке .
1.18. , на отрезке .
1.19. , на отрезке .
1.20. , на отрезке .
1.21. , на отрезке .
1.22. , на отрезке .
1.23. , на отрезке .
1.24. , на отрезке .
1.25. , на отрезке .
1.26. , на отрезке .
1.27. , на отрезке .
1.28. , на отрезке .
1.29. , на отрезке .
1.30. , на отрезке .
1.31. , на отрезке .
1.32. , на отрезке .
1.33. , на отрезке .
1.34. , на отрезке .
1.35. , на отрезке .
Задача 2. Получить численное решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке методом Рунге – Кутты, шаг интегрирования принять равным . Найти абсолютную погрешность и относительную погрешность (в процентах) приближенного решения (сравнить полученный приближенный результат с точным решением при ) (варианты заданий взяты из ).
2.1. , на отрезке .
2.2. , на отрезке .
2.3. , на отрезке .
2.4. , на отрезке .
2.5. , на отрезке .
2.6. , на отрезке .
2.7. , на отрезке .
2.8. , на отрезке .
2.9. , на отрезке .
2.10. , на отрезке .
2.11. , на отрезке .
2.12. , на отрезке .
2.13. , на отрезке .
2.14. , на отрезке .
2.15. , на отрезке .
2.16. , на отрезке .
2.17. при на отрезке .
2.18. , на отрезке .
2.19. , на отрезке .
2.20. , на отрезке .
2.21. , на отрезке .
2.22. , на отрезке .
2.23. , на отрезке .
2.24. , на отрезке .
2.25. , на отрезке .
2.26. , на отрезке .
2.27. , на отрезке .
2.28. , на отрезке .
2.29. , на отрезке .
2.30. , на отрезке .