Розв’язання

Підінтегральна функція є правильним раціональним дробом, знаменник якого має дійсний та пару комплексних коренів, тому розклад дробу на найпростіші буде містити найпростіші дроби І, ІІІ типів.

Звідси . Використавши метод невизначених коефіцієнтів, знаходимо коефіцієнти:

Отже,

Остаточно маємо:

5. Визначений інтеграл як границя інтегральних сум

Нехай функція задана на відрізку . Розіб’ємо цей відрізок на n частин:

У кожному проміжку довжиною оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції .

Побудуємо суму , яку називають інтегральною сумою для функції на відрізку .

Означення 5. Якщо існує скінчена границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається .

Математично це означення можна записати так:

(1)

Відмітимо, що числа a та b називають нижньою та верхньою межами інтегрування, відповідно.

Теорема 3

Якщо функція неперервна на відрізку або обмежена і має скінчену кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція інтегрована на .

6. Властивості визначеного інтеграла

Із означення 5 (формула 1) та основних теорем про границі випливають властивості визначеного інтеграла.

1. Постійний множник можна винести за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А – стала, то

2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченої кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто

Якщо поміняти місцями межі інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто

.

4. Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто

для будь-якої функції .

5. Якщо

6. Якщо m та М – найбільше та найменше значення функції на відрізку , то

7.

8.

7. Формула Ньютона-Лейбніца

Формула Ньютона-Лейбниця являється потужним засобом обчислення визначених інтегралів, бо за допомогою цієї формули можна обчислити визначені інтеграли для всіх функцій, для яких ми можемо знайти невизначені інтеграли.

Теорема 4

Якщо функція є будь-якою первісною для неперервної функції то має місце формула Ньютона-Лейбниця:

Різницю умовно позначають , а формулу Ньютона–Лейбниця записують так:

Приклад 20

Обчислити

Розв’язання

8. Обчислення визначеного інтеграла

Основними методами обчислення визначеного інтеграла є інтегрування частинами і підстановки.

Формула інтегрування частинами має такий вигляд:

Приклад 21

Обчислити

Розв’язання

Теорема 5

Нехай задано інтеграл , де неперервна на відрізку . Зробимо підстановку де неперервно диференційована функція на відрізку .

Якщо при зміні від до змінна х змінюється від до , тобто а складна функція визначена і неперервна на відрізку , тоді має місце рівність:

Приклад 22

Обчислити

Розв’язання

Введемо нову змінну , тоді . Нові межі інтегрування:

x	0	3
t	1	2

Обчислюємо інтеграл:

=

9. Невласні інтеграли

Невласними інтегралами є:

1) інтеграли з нескінченними границями інтегрування (невласні інтеграли першого роду);

2) інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду);

Невласний інтеграл першого роду позначається так:

або , або

Означення невласного інтеграла здійснюється за допомогою граничного переходу:

або

Якщо існують скінченні границі справа, то відповідний невласний інтеграл збігається, в протилежному випадку – інтеграл розбігається (кажуть також, що інтеграл збіжний або розбіжний).

Геометрично невласний інтеграл першого роду

у випадку , є площа фігури, що обмежена графіком функції , прямою та віссю .

Аналогічно вводиться поняття невласного інтеграла по нескінченному проміжку:

де та прямують до своїх границь незалежно один від одного. У цьому випадку, обравши будь-яке , можна записати так:

При цьому інтеграл збігається тоді і тільки тоді, коли обидва інтеграли, що стоять справа, збігаються.

Приклад 23

Обчислити невласний інтеграл першого роду: .

Розв’язання

.

Приклад 24

Обчислити невласний інтеграл першого роду: .

Розв’язання

У цих прикладах інтеграл по нескінченному проміжку обчислювався за допомогою первісної функції, а потім здійснювався граничний перехід. Ці два моменти можна поєднати, застосувавши основну формулу інтегрального числення.

Нехай функція визначена на проміжку та інтегрована у кожній його частині . Якщо для існує первісна на всьому проміжку , то за формулою Ньютона-Лейбніца.

Звідси зрозуміло, що невласний інтеграл існує тільки у тому випадку, якщо існує скінчена границя і тоді

Аналогічно

Остання формула означає, що для збіжності невласного інтеграла повинні існувати обидві скінчені границі та

При розгляданні невласних інтегралів перш за все треба з’ясувати питання про збіжність невласного інтеграла. Більше того, у багатьох задачах, пов’язаних з невласними інтегралами, немає необхідності в їх обчисленні, а достатньо знати, збіжний інтеграл чи ні.

Приклад 25

Обчислити невласний інтеграл

Розв’язання

Застосовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, маємо:

Приклад 26

Обчислити невласний інтеграл

Розв’язання

Застосовуючи формулу Ньютона-Лейбниця, маємо:

10. Використання визначеного інтеграла