10.1. Обчислення площ плоских фігур
Якщо у
декартовій прямокутній системі координат
задано фігуру, що обмежена лініями
,
її площу знаходять за формулою
Якщо
фігура обмежена кривими
,
прямими
то формула обчислення площі має вигляд:
(2)
Приклад 27
Обчислити
площу фігури, обмеженої лініями
Розв’язання
По-перше,
необхідно зобразити фігуру, утворену
даними лініями. Графіком
є
парабола з вершиною
,
вітки якої напрямлені донизу, перетинає
вісь абсцис у точках
Графіком
є пряма, що проходить через початок
координат. Точки перетину параболи з
прямою одержуємо, розв’язавши рівняння
.
Як
бачимо, фігура обмежена зверху параболою
а знизу прямою
Для обчислення площі використаємо
формулу (2).
=
10.2. Обчислення довжини кривої на площині.
Нехай
у декартовій прямокутній системі
координат задано криву
.
ЇЇ довжина обчислюється за формулою
,
де
– диференціал дуги кривої.
Якщо
криву задано в полярних координатах
рівнянням
,
то диференціал дуги кривої має такий
вигляд:
.
Якщо
криву задано параметрично
,
то
.
Приклад 28
Знайти
довжину кривої
Розв’язання
Використаємо
формулу
.
Враховуючи,
що
маємо
Приклад 29
Знайти
довжину кардіоїди
.
Розв’язання
=
=
10.3. Обчислення об’єму тіла обертання.
Об’єм
тіла, отриманого від обертання
криволінійної трапеції, обмеженої
кривою
,
прямими
навколо осі
,
виражається формулою
.
Якщо
фігура, обмежена кривими
і
та прямими
обертається навколо осі
,
то об’єм тіла обертання обчислюється
так:
.
Приклад 30
Обчислити об’єм кулі радіуса R.
Розв’язання
Кулю можна
розглядати,
як
результат обертання півкруга, обмеженого
частиною кола
,
навколо осі
.
Використовуючи рівність
,
симетричність кола відносно осі
та формулу обчислення об’єму, одержимо:
=
=
10.4. Розв’язування задач економічного змісту.
1. Витрати, доход та прибуток.
Нехай
– функція загальних витрат на виробництво
одиниць продукції,
– функція маргінальних витрат, тоді
загальні витрати при зростанні кількості
виробленої продукції від а
до b
одиниць обчислюються так:
Аналогічно
обчислюються зміни доходу та прибутку:
де
– функції маргінального доходу та
прибутку відповідно.
2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового податку.
Графік
функції
,
Яка описує дійсний розподіл прибуткового
податку, називають кривою Лоренца.
Коефіцієнтом нерівності розподілу
податку кривої Лоренца називають
відношення площі фігури, обмеженої
кривою Лоренца та прямою
до площі фігури, що лежить нижче прямої
(
),
тобто
Приклад 31
Знайти
коефіцієнт нерівності розподілу податку
для кривої Лоренца
Розв’язання
За
означенням
,
де
– площа трикутника, а
=
.
ІІІ. Завдання для контрольної роботи.
Завдання 1
Знайти інтеграли.
Варіанти завдань:
1.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
2. а)
б)
в)
г)
д)
е)
3. а)
б)
в)
г)
д)
е)
4. а)
б)
в)
г)
д)
е)
5. а)
б)
в)
г)
д)
е)
6. а)
б)
в)
г)
д)
е)
7. а)
б)
в)
г)
д)
е)
8. а)
б)
в)
г)
д)
е)
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
10. а)
б)
в)
г)
д)
е)
11. а)
б)
в)
г)
д)
е)
12. а)
б)
в)
г)
д)
е)
13. а)
б)
в)
г)
д)
е)
14. а)
б)
в)
г)
д)
е)
15. а)
б)
в)
г)
д)
е)
16. а)
б)
в)
г)
д)
е)
17. а)
б)
в)
г)
д)
е)
18. а)
б)
в)
г)
д)
е)
19. а)
б)
в)
г)
д)
е)
20. а)
б)
в)
г)
д)
е)
21. а)
б)
в)
г)
д)
е)
22. а)
б)
в)
г)
д)
е)
23. а)
б)
в)
г)
д)
е)
24. а)
б)
в)
г)
д)
е)
25. а)
б)
в)
г)
д)
е)
26. а)
б)
в)
г)
д)
е)
27. а)
б)
в)
г)
д)
е)
28. а)
б)
в)
г)
д)
е)
29. а)
б)
в)
г)
д)
е)
30. а)
б)
в)
г)
д)
е)
31. а)
б)
в)
г)
д)
е)
32. а)
б)
в)
г)
д)
е)
33. а)
б)
в)
г)
д)
е)
34. а)
б)
в)
г)
д)
е)
Завдання 2
Обчислити визначені інтеграли.
Варіанти завдань:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
Завдання 3
Обчислити невласні інтеграли або встановити їх розбіжність.
Варіанти завдань:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
