П.4 Абсолютно и условно сходящиеся интегралы
О. Несобственный
интеграл
называется
абсолютно
сходящимся,
если сходится интеграл
.
О. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если интеграл сходится, а интеграл расходится.
Теорема Из абсолютной сходимости несобственного интеграл следует его сходимость.
Доказательство.
Пусть
сходится. По критерию Коши, это значит,
что
.
Но так как
,
то условие Коши выполняется и для функции
■
Замечание. Обратное к утверждению теоремы не всегда верно.
П.5 Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов
Признак Дирихле
Если 1) функция
ограничена на
(т.е.
);
2) функция
монотонна и
,
то интеграл
сходится.
Признак Абеля
Если 1) интеграл
сходится; 2) функция
монотонна и ограничена на
,
то интеграл
сходится.