- •§ 3 Определенный интеграл п.1 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •П.2 Определение интеграла Римана
- •П.3 Необходимое условие интегрируемости функции
- •П.4 Достаточное условие интегрируемости функции
- •П.5 Классы интегрируемых функций
- •§ 4 Свойства определенного интеграла п.1 Другая формулировка критерия интегрируемости
- •П.2 Свойства, связанные с операциями над функциями
- •П.3 Свойства, связанные с отрезками интегрирования
- •П.4 Оценки интегралов
- •П.5 Интегральная теорема о среднем
- •§ 5 Интеграл с переменным верхним пределом
- •П.1 Определение и свойства интеграла с переменным верхним пределом
- •П.3 Замена переменной в определенном интеграле
- •П.4 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •§ 6 Приложения определенного интеграла п.1 Вычисление площади плоской фигуры
- •П.2 Площадь криволинейного сектора
- •П.3 Вычисление объемов тел
- •П.4 Вычисление длины дуги кривой
- •П.5 Вычисление площади поверхности вращения
- •§ 7 Несобственные интегралы п.1 Определения несобственных интегралов
- •П.2 Свойства несобственных интегралов
- •П.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •П.4 Абсолютно и условно сходящиеся интегралы
- •П.5 Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов
П.2 Свойства несобственных интегралов
Будем рассматривать несобственные интегралы вида , где особая точка интеграла (т. е. или не ограничена в окрестности ). Будем предполагать, что определена на и интегрируема на отрезке .
1) Линейность.
Утверждение Если сходятся несобственные интегралы от функций и по , то при R сходится интеграл от функции на и выполняется равенство:
.
Доказательство. Для , в силу свойств интеграла Римана, выполняется равенство:
.
Перейдем к пределу в обеих частях последнего равенства при . Так как предел правой части существует по условию теоремы, то существует предел и левой части ■
2) Формула Ньютона-Лейбница.
Утверждение Если функция непрерывна на и если – первообразная для , то несобственный интеграл сходится тогда, и только тогда, когда существует и конечен , причем .
Доказательство. Так как непрерывна на любом отрезке , где , то на справедлива формула Ньютона-Лейбница:
.
Переходя в обеих частях последнего равенства к пределу при , получим, что и требовалось доказать ■
3) Интегрирование по частям.
Утверждение Пусть функции и определены на , имеют непрерывные производные на . Если существует и конечен , а интеграл сходится, то интеграл тоже сходится и справедлива формула интегрирования по частям:
.
Доказательство аналогично доказательству предыдущего утверждения.
4) Формула замены переменной.
Утверждение Если функция непрерывна на , а функция непрерывно-дифференцируема на , строго возрастает и , , то справедлива формула замены переменной:
,
при условии, что хотя бы один из интегралов сходится.
П.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
Теорема 1 (критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции) Если , то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена сверху, т.е.
.
Доказательство. Заметим, что если , то – возрастающая функция. Действительно, если , то . Но по критерию существования предела монотонной функции, существует тогда, и только тогда, когда ограничена сверху ■
Теорема 2 (признак сравнения) Если выполняется условие , то
а) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ; б) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Доказательство. Так как , то, в силу свойств интеграла, выполняется неравенство: .
Если интеграл сходится, то функция ограничена сверху, тогда и функция . Значит, интеграл сходится. Если же расходится, то не ограничена сверху, тогда и не ограничена сверху. В силу критерия сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции, интеграл расходится ■
Следствие Если выполняются условия , и при , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Так как при , то существует такая окрестность , что выполняется , т.е.
. Отсюда .
На отрезке интегралы и сходятся как собственные. Значит, сходимость этих интегралов на равносильна их сходимости на . Применяя признак сравнения, из последнего неравенства получим, что и требовалось доказать ■
Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
.