2.2.3. Расчет радиусов Френеля при сферическом волновом фронте

Пусть S - источник волн, а M - точка наблюдения. Отметим на волновой сферической поверхности точки, соответствующие границам m-ой зоны Френеля. Эти точки находятся на расстоянии L + m λ/2 от

точки М. Радиус m- -ой зоны равен r_i = AB, OB = h m - высота сегмента (рис. 2.10.) Рассмотрим ∆ SAB и ∆ ABM. Из треугольника ASB

r_i ²=R ²-(R-h m )²=2Rh m -h m ². (11

Из треугольника A M B имеем

r_i ² =(L + m λ/2)² -(L+h_i )² = m λ L-2Lh_i . (12

Рис. 2.10

Члены h_i ² и m² (λ /2) ² отбросим как величины, имеющие второй порядок малости. Из (12) найдем:

r_i=₍2 Rh_i.)^{1/ 2} (13)

Приравняв правые части (11) и (12), получим: h_i= m λ L/2(R + L⁾

Подставим (14) в (13), найдем радиус m -ой зоны Френеля для сферического фронта

r_i= ( L R / R + L) m λ.В (15)

Радиус первой зоны при m = 1 равен r₁ = r = ( L R / R + L)х λ. Тогда радиус m -ой зоны равен

r _m=( mr ₁. (16)

Следовательно, для радиусов зон справедливо соотношение: r ₁: r₂: r ₃... = 1: 2: 3

Найдем радиусы зон Френеля для плоского волнового фронта. Запишем выражение (15) в виде

r _1i= iLλ 1+ L/ R

Для плоского фронта R - . Тогда получим

r _1i= (mLλ). (17)

(18)

Все выводы изложенной выше теории Френеля остаются справедливыми и в этом случае.

Следует отметить, что теория дифракции (и интерференции) световых волн применима к волнам любой физической природы. В этом проявляется общность волновых закономерностей. Физическая природа света в начале XIX века, когда Т. Юнг, О. Френель и другие ученые развивали волновые представления, еще не была известна.

Модель. Дифракция света

Модель. Зоны Френеля

Расчет фраунгоферовой дифракции на круглом отверстии оказывается достаточно громоздким и приводит к бесселевым функциям первого порядка I₁.

Распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера на круглом

отверстии диаметра D выражается формулой

(2.3)

К=2π/λ , D—диметр объектива, θ - угол наблюдения, sin θ =m λ/D

Ĵ₁(х) – Функция Бесселя 1 – ого рода, имеющая корни

Ĵ₁(х) = 0 при х₁ = 3.84 ; х₂= 7.04; х₃ = 10.18

При θ → 0 → 1 , тогда І (0) = І₀

При ( k D Sin θ) /2 =3.84, тогда из этого соотношения ,учитывая,что

К=2π/ λ

Sin θ = ( 2 3.84 λ) / 2π D при малых углах θ

Δ θ =1.22 λ/D

Рис. 2.13. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии

Распределения (2.2) и (2.3) очень похожи друг на друга. Картина дифракции на круглом отверстии имеет вид концентрических колец. Центральное светлое пятно носит название пятна Эйри. Интенсивность в максимуме первого светлого кольца составляет приблизительно 2 % от интенсивности в центре пятна Эйри. Распределение (2.3) показано на рис.2.13.

При оценке разрешающей способности оптических инструментов важно знать размер центрального дифракционного максимума. Угловой радиус пятна Эйри выражается соотношением

(2.4)