Устойчивость дискретных цепей

Расположение полюсов функции передачи на Z-плоскости

Согласованное Z-преобразование

При использовании согласованного Z-преобразования комплексная переменная Z и P связаны уравнением: Z= . Известно, что линейная цепь является устойчивой, если полином числителя и знаменателя операторной функции передачи являются полиномами Гурвица:

H_(p)= (21)

То есть N_(p)≠0, D_(p)≠0, Re{P}≥0

Это значит, что нули и полосы функции передачи расположены в левой полуплоскости. Это справедливо для минимально-фазовых цепей.

Для неминимально - фазовых цепей нули передаточной функции могут быть расположены в правой полуплоскости. Для выполнения условий физической реализуемости и для минимально-фазовых цепей необходимо, чтобы полосы передаточной функции были расположены в левой полуплоскости.

Покажем, что для выполнения условий физической реализуемости и условий устойчивости полосы функции передачи ЛДС на Z-плоскости расположены внутри окружности единичного радиуса, то есть левая полуплоскость комплексной переменной «P» отображается внутрь окружности единичного радиуса на комплексной плоскости «Z».

Действительно, если

Z=u+jv= (22)

Уравнение мнимой оси на плоскости «P»:

=0 (23)

При выполнении (23) из (22) получим:

(24)

Найдем модуль правой и левой части уравнения (24):

(25)

Этому соответствует уравнение

(26)

Уравнению (26) на комплексной плоскости «Z» соответствует окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Для левой полуплоскости плоскости «P» выполняется неравенство

<0 (27)

Вертикальная линия на комплексной плоскости «P» в левой полуплоскости имеет уравнение:

(28)

В этом случае с учетом (27,28) получим из (22)

|Z|= (29)

(30)

Следовательно, все точки левой полуплоскости «P» отображаются на комплексной плоскости «Z» внутрь окружности единичного радиуса.

Мнимая ось комплексной плоскости «Р» отображается на комплексной плоскости «Z» в окружность единичного радиуса. Следовательно, для устойчивой линейной дискретной системы полосы Z–преобразования функции передачи должны находиться внутри окружности единичного радиуса.

Билинейное z-преобразование

Билинейному преобразованию [1] соответствует связь комплексных переменных «P» и «Z» в следующем виде:

(31)

Этому соответствует обратный переход:

(32)

С учетом

из (32)

(33)

В (33) выделим мнимую и вещественную часть:

(34)

(35)

Обозначим:

(36)

возведем в квадрат (34), (35), сложим и подставим (36), получим:

(37)

Уравнение (37) – это уравнение окружности радиуса R с центром, смещенным по вещественной оси на комплексной плоскости «Z» на величину .

Таким образом при билинейном преобразовании вертикальная линия левой полуплоскости плоскости «P» с уравнением < 0 отображается в точки окружности (37) на комплексной плоскости «Z». При этом мнимая ось комплексной плоскости «P» отображается на плоскости «Z», также как и при согласованном преобразовании, в точки окружности единичного радиуса с центром в начале координат.

В этом нетрудно убедиться, если в (36) подставить =0.

Таким образом условиям физической реализуемости и устойчивости линейной дискретной системы при согласованном и билинейном преобразовании соответствует расположение полюсов Z-преобразования функции передачи внутри окружности единичного радиуса на комплексной плоскости «Z».