- •Задания на домашнюю контрольную работу №1 по теме: «Спектральный анализ сигналов » Вариант №1
- •Качественно построить спектр амплитуд входного сигнала (рисунок 6) в зависимости от частоты f в кГц. Тест №4
- •Р исунок 6
- •Тест №7
- •Р исунок 5
- •Тест №11
- •Тест №12
- •Тест №21
- •Методические материалы к разделу «спектральный анализ сигналов» Преобразование Фурье, ряды Фурье
- •1 Расчет спектров типовых сигналов
- •2 Пример расчета спектральных характеристик сигнала
- •Задачи для самостоятельного решения Рассчитать и построить амплитудный и фазовый спектр сигналов для заданных ниже параметров и математических модулей.
- •Математические модели сигналов
- •Задания на домашнюю контрольную работу №2 по теме: «Корреляционный анализ сигналов » тест №1
- •Тест №4
- •Р исунок 4
- •Тест №7
- •Р исунок 3
- •Тест №11
- •Тест №12
- •Задания на домашнюю контрольную работу №3
- •По теме: «Дискретные цепи и сигналы»
- •Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Тест 3 Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Тест 5 Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Тест 13 Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Тест 15 Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Тест 17 Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Устойчива ли цепь?
- •Тест 19 Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Тест 21 Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Дискретная цепь описывается разностным уравнением
- •Устойчивость дискретных цепей
- •Билинейное z-преобразование
- •Свойства z-преобразования
- •Структурная схема лдс
- •Амплитудно-частотная характеристика линейной дискретной системы
- •Комплексная частотная характеристика и амплитудно-частотная характеристика лдс при билинейном преобразовании
- •Примеры расчета характеристик дискретных цепей (тестовых заданий)
- •Пример реализации фильтра Баттерворта 3го порядка
- •Литература
Амплитудно-частотная характеристика линейной дискретной системы
Для согласованного z-преобразования комплексная переменная «z» и «p» связаны уравнением (18):
Z=epTg
Преобразованию Лапласа можно сопоставить преобразование Фурье (там, где это допустимо). Если в преобразовании Лапласа сделать замену переменной p=jω, то тем самым из преобразования Лапласа будет получено для определенного класса непрерывных функций времени преобразование Фурье.
При замене
(55)
В формуле для z-преобразования функции передачи ЛДС (48) можно получить комплексный коэффициент передачи линейной дискретной системы:
(56)
Определение:
Амплитудно-частотной характеристикой ЛДС называется модуль комплексного коэффициента передачи линейной дискретной системы т.е.:
(57)
с учетом (46)
(58)
Комплексная частотная характеристика и амплитудно-частотная характеристика лдс при билинейном преобразовании
При билинейном преобразовании комплексная переменная «p» и комплексная переменная «z» связаны уравнениями (31), (32).
Для непрерывной линейной системы (линейной цепи) можно записать операторный коэффициент передачи как отношение изображения отклика цепи к изображению входного воздействия при нулевых начальных условиях:
, (59)
где
,
Для физически реализуемой цепи знаменатель операторной функции передачи H(p) является полиномом Гурвица.
Для перехода к z-преобразованию функции передачи можно сделать подстановку в H(p) вместо «p» из (31):
,
затем получившуюся функцию записать как отношение полиномов степеней (z-1). При записи уравнений для фильтров, предполагается, что предварительно получена передаточная функция денормированного по частоте аналогового фильтра [2].
Для нахождения комплексной частотной характеристики, так же как при согласованном z-преобразовании делают подстановку:
(60)
где ωg - цифровая частота;
учитывая, что p=jωa,
где ωa - аналоговая частота.
Связь между осью частот дискретной и аналоговой цепи становится комплексной:
(61)
отсюда
(62)
Однако (62) позволяет устранить деформацию частотной шкалы, путем пересчета граничных частот аналогового фильтра [2].
Примеры расчета характеристик дискретных цепей (тестовых заданий)
Пример 1
Задано разностное уравнение:
y(n)=a0x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)+a3x(n-3) (63)
1 Записать передаточную функцию H(z) цепи.
Для уравнения (63) найдем его z-преобразование:
Y(z)=a0z(z)+a1z-1x(z)+a2z-2x(z)+a3z-3x(z) (64)
По определению, z – преобразование функции передачи равно отношению z – преобразования отклика цепи Y(z) к z – преобразованию входного воздействия x(z):
(65)
2 Записать АЧХ дискретной цепи (63), полагая a0=a1=a2=a3=1.
Пусть входная последовательность представляет собой отсчеты комплексной экспоненты:
(66)
Выходная последовательность y(n) равна дискретной свертке входной последовательности x(n) и дискретной импульсной характеристики ЛДС h(n):
= (67)
Здесь H( ) – комплексная частотная характеристика дискретной цепи.
(68)
Допустим, что входной сигнал – отсчеты гармонической функции амплитуды A, частоты ω0, начальной фазы :
(69)
(70)
(71)
Выходной сигнал y1(n) на x1(n) равен:
(72)
Выходной сигнал y2(n) на x2(n) равен:
(73)
Отсчеты выходной последовательности y(n) равны сумме y1(n) и y2(n)
(74)
Учитывая, что и - комплексно-сопряженные функции, можно записать:
(75)
Пусть - частота Найквиста
- интервал дискретизации, выбранный в соответствии с теоремой Котельникова для сигнала с ограниченным спектром.
(76)
где - круговая частота дискретизации.
Обозначим нормированную частоту
произведение:
(77)
Выразим из (75) Tg и подставим (77):
(78)
Определим комплексную частотную характеристику ЛДС как функцию частоты :
(79)
Для разностного уровня (63) при заданных исходных данных комплексная частотная характеристика дискретной цепи равна
(80)
где h(n) – дискретная импульсная характеристика.
(81)
h(n)
1
n
0
1
2
3
Рисунок 3 – График дискретной импульсной
характеристики ЛДС, n=4
(82)
Формула (82) получена на основе вычисления суммы геометрической прогрессии.
Ω
Р исунок 4 – График АЧХ ЛДС (пример 2)