МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.

1.1 Способы задания множеств.

Под множеством в математике понимают какую-либо совокуп­ность предметов или понятий.

Эти предметы (объекты, явления, понятия), из которых состоит множество, называются элементами множества. Говорят также, что эти элементы принадлежат множеству. Множество не содержащее ни­каких элементов, называется пустым и обозначается .

Пусть А обозначает некоторое множество. Если какой-либо элемент a принадлежит множеству А, то это записывают a  А, а ес­ли а не принадлежит А, то записывают a  А .

Множество можно задать перечислением всех его элементов. Если множество А состоит из букв а, b, с, d, то пишут:

А = {а, b ,с ,d}.

Множество может быть задано описанием характеристического свойства его элементов, т. е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. При таком задании множества используется следующая запись: в фи­гурных скобках приводят обозначение элемента, после чего ставят вертикальную черту, а затем указывают характеристическое свойство.

Например, запись А = {х | х < 7} означает, что множество А состоит из всех таких чи­сел, которые меньше 7.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения: N - множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел, Z₀ - множество целых неотрицательных чисел, Q - множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел.

Пример. Запишите множество А, элементами которого являются натуральные делители числа 24, используя символическую запись характеристического свойства и перечисление элементов множест­ва.

Решение. Множество А задано описанием характеристического свойства “быть натуральным делителем числа 24”, поэтому его за­пись может быть такой: А = {х 24 х, х  N}. Натуральными де­лителями числа 24 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, - следовательно, множество А можно записать так:

А = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.

Упражнение 1.

1. Придумайте пример множества, заданного с помощью характеристического свойства, которое нельзя задать перечислением всех его элементов.

2. Прочтите следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств:

В = {b | b - месяц года, в название которого входят четыре и только четыре различные буквы}.

С = {с | с - европейское государство, название которого начинается с буквы Ш}.

Е = {х | х  N, -1 < х < 5};

К = {х | х  N, х < 7};

L = {х | х  R, 5х = х - 7};

М = { у | у  R, 2(5у + 10) = 10у + 20};

N = {х | х  N, х² = 4};

S = {х | х  Z, х² = 4};

Т = {х | х  Z, х² = 2};

V = {х | х  N, х² < 9};

W = {х | х  Z, х² 9}.

3. Даны множества А = { 1, 3, 5, 7, 9 };В = {12, 11, 10, 9, 7, 8 };

С = { 11, 22, 33,44, 55,66, 77, 88,99}.

Сформулируйте характеристическое свойство элементов каждого из этих множеств.

1.2 Отношения между двумя множествами.

Элемент, принадлежащий одновременно множеству А и множеству В, называют общим элементом этих множеств. Если множества А и В имеют общие элементы, то говорят, что они находятся в отношении пересечения или пересекаются, и пишут: А  В . Если множества А и В пересекаются и каждый элемент множества В принадлежит и множеству А, то множество В называют подмножеством множества А и пишут: В  А. Ясно, что  А.

Множество А и пустое множество являются несобственными подмножествами множества А. Все осталь­ные подмножества А называются собственными.

Для каждого множества , состоящего из n элементов, можно образовать 2ⁿ подмножеств.

Если множество В является подмножеством множества А, то говорят также, что множества А и В находятся в отношении включения.

Если А  В и В  А, то множества А и В называют равными и пи­шут: А = В. Равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Чтобы сделать наглядными рассуждения, связанные с множества­ми, используют круги Эйлера. С их помощью все возможные случаи пересечения двух множеств представляются так, как на рис. 1.

А В

А В

В

А

А = В

а) АВ∅ б) В⊂А в) А⊂В г) А=В

рис1.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то их на­зывают непересекающимися и пишут: А  В = . Непересекающиеся множества изображают при помощи кругов Эйлера, так, как показано на рис. 2.

А В

рис 2.

U

Универсальное множество - это самое "большое" множество, содер­жащее в себе все множества, рассматриваемые в данной задаче. Например, если речь идет о множестве чисел, то таким множеством может быть множество R - множество всех действительных чисел. На диаграммах Эйлера универсальные множества принято обозначать U и изображать в виде прямоугольника. (рис. 3.)

рис. 3

Пример. Равны ли множества А = {а, b, с} и В = {а, {b, с}}

Решение. Эти множества не равны, так как элемента в нет в множестве В, которое состоит из двух элементов: а и множества, состоящего из двух элементов в и с.

Упражнение 2.

1. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера множества А, В и С, если:

а) А  В и В  С

б) А С, В С и А  В = 

в) А  В , А  С , В  С , А  В  С

г) А  В = , А  С , В  С

2. Известно, что х  Х и х У. Следует ли отсюда, что:

а) Х  ; б)   Х; в) Х = .

3. Учащийся установил, что каждый элемент множества Х принадлежит множеству . Какой из следующих выводов должен был сделать учащийся : а)   Х; б) Х  ; в) Х = 

4. Известно, что D - множество деревьев в саду, F - множество фрук­товых деревьев в этом саду, К - множество яблонь в саду.

Установите, каковы отношения между парами этих множеств, если все они непустые. Изобразите множества D, F и К с помощью диаграмм Эйлера.

5. Постройте диаграммы Эйлера для множеств Е, К и М, предварительно выяснив, каковы отношения между парами этих множеств, если:

Е - множество двухэтажных домов в городе,

К - множество пятиэтажных домов в городе,

М - множество домов в городе.

6. Даны множества А = { а, b, с, d }, В = { а, b, 4 }, С = { 4, 2, с }, D ={ а, b, 3 }, F = {1, b }. Найдите а, b, с, d, зная, что В  А, С  А, D  А, F  В.