1.3. Пересечение и объединение множеств.

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.(рис. 4)

В

А

рис. 4

Пересечение множеств А и В обозначают АВ. Таким образом, по определению пересечения можно записать:

А  В == { х | х  А и хВ}.

Рассмотрим свойства операции пересечения множеств.

1) А   = ;

2) А  А = А;

3) А  В = В  А (коммутативность);

4) А  (В  С) = (А  В)  С = А  В  С (ассоциативность);

5) А  В  А  В = А;

6) А  U = А

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. (рис. 5)

В

А

рис. 5

Объединение множеств А и В обозначают АВ. Таким образом, по определению объединения можно записать:

АВ = {х | х А или хВ}.

Рассмотрим свойства операции объединения множеств.

1) А   = А;

2) А  А = А;

3) А  В = В  А (коммутативность);

4) А  (В  С) = (А  В)  С = А  В  С (ассоциативность);

5) А  В  А  В = В;

6) А  U = U.

Если над множествами производятся операции пересечения и объединения и в записи выражения отсутствуют скобки, то сначала выполняют операцию пересечения, а затем операцию объединения.

Кроме перечисленных выше свойств операции пересечения и объединения, есть свойства, связывающие эти две операции.

Пересечение дистрибутивно относительно объединения, т. е. для любых множеств А, В и С имеем:

А  (в  с) = (А  в)  (А  с).

Объединение дистрибутивно относительно пересечения, т. е. для любых множеств А, В и С имеем;

А  (в  с) = (А  в)  (А  с).

Пример. Докажите, что А  В  А  В = А

Решение. В данном примере необходимо доказать два утвер­ждения:

1. если А содержится в В, то А  В = А;

2. если А  В = А, то А  В.

Первое утверждение следует непосредственно из определения.

Докажем второе утверждение. Предположим, что АВ = А Докажем, что А  В. Возьмем любой элемент а  А и проверим, что а  В. Тем самым докажем включение АВ ввиду определения этого отношения.

Итак, пусть а  А. Тогда, в силу равенства А  В = А получаем, что аА  В, а это означает, по определению пересечения, что а  В. Утверждение доказано.

1.4 Разность множеств. Дополнение подмножества.

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. (рис. 6)

В

А

рис. 6

Разность множеств А и В обозначают А\В. Таким образом, по определению разности А\В ={х | х  А и хВ}.

В том случае, когда В  А, разность множеств А и В называют дополнением подмножества В до множества А и обозначают В_А. Если В - подмножество универсального множества, то дополнение подмножества В до универсального множества обозначают В.

Справедливы следующие свойства разности и дополнения.

1) ` U;

2) U`= ;

3) А \  = А;

4) (А`)` = А;

5) А` А = ;

6) А` А = U;

7) А \ (В  С) = (А \ В) \ С;

8) А\ (В\С) = (А\В) С, если С  А ;

9) (А  В) = А  В;

10) (А  в) = А В;

11) (А\ В)  В = А, если В  А;

12) А  В=(А\ (А  В))  В.

Пример. Даны множества А = { m, k, l, n } и В = { m, n, р, t, у }. Найдите множества А  В, А  В, А\В.

Решение. Множество А  В состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и В, т.е. из элементов m и n: А  В = {m, n}.

В множество А  В входят элементы, принадлежащие А или в, т.е. А  В = { m, k, l, n, р, t, у }.

Множеству А\В принадлежат те элементы множества А, которых нет в множестве В, т.е. А\В = { l, k }.

Упражнение 3.

1. Р - множество натуральных делителей числа 18. Q - множество натуральных делителей числа 24. Укажите характеристическое свойство элементов пересечения множеств Р и Q и перечислите его элементы.

2. Постройте диаграммы Эйлера для множеств А, В и С и укажите характе­ристическое свойство элементов множества А В С, если:

а) А - множество правильных треугольников,

В - множество треугольников,

С - множество четырехугольников,

б) А - множество параллелограммов,

В - множество прямоугольников,

С - множество четырехугольников,

в) А - множество прямоугольных треугольников,

В - множество равнобедренных треугольников,

С - множество равносторонних треугольников.

3. А - множество трапеций, В - множество четырехугольников, имею­щих прямой угол, С - множество квадратов. Постройте диаграммы Эйлера для данных множеств и отметьте штриховкой области, изображающие множества:

а) А\В  С б) (А\В)  С в) (А  С)\В

4. Известно, что А, В и С - подмножества универсального множества U и АВ  С   Постройте диаграммы Эйлера для данных множеств и отметьте штриховкой области, изображающие множества:

а) А\В  С`, б) (А  В)`  С, в) (А`  В`)\С, г) А`  В\С,

д) А  В\С, е) (А\В)`  С, ж) А`\В`\С, з) (А  В)`\С.

5. Докажите, что А\В = А\А  В.

6. Докажите, что А\(В  С) = (А\В) (А\С).

7. Укажите характеристическое свойство множеств:

а\в  с, а`  В`  с, (А\ В)` \ С, а` в \ с`, а\в` с,

если А = { х | хR, -1 < х < 3}

В = { х | хR, х 2}

С = { х | хR, 0 < х < 5}

8. Выясните па основании каких законов операций над множествами произведены следующие преобразования:

а) (А  В)  С = А  (В  С) = А  (С  В)

б) (А  в)  с = А  с  в  с = с  А  с  в

в) А  В  А`  С = А  А`  В  С = (А  А`)  (В  С) = 

г) (А  В)А = (А`  В)  А = (А`  А)  В = 