Принципы оценки устойчивости и качества линейных систем по критериям в.С. Воронова
При исследовании и проектировании систем управления бывает важно знать, как влияют параметры системы на ее устойчивость и качество. Математическую модель линейной системы можно представить в виде передаточной функции
причем наиболее важная информация содержится в коэффициентах характеристического полинома
По этим коэффициентам, используя критерии Рауса и Гурвица, можно судить об устойчивости системы, а расположение корней характеристического уравнения (полюсов системы) позволяет судить о качестве переходных процессов.
Классические частотные и корневые методы не всегда удобны при проектировании систем, поскольку в этом случае связь между коэффициентами математической модели и применяемыми критериями (показателями) устойчивости и качества является достаточно сложной. Поэтому возникает вопрос: существуют ли такие критерии, в которых связь между коэффициентами полинома (1.2) и показателями устойчивости и качества была бы простой. Утвердительный ответ на этот вопрос был дан в работах В.С. Воронова, который в 60-х годах прошлого века впервые получил простые необходимые и простые достаточные условия устойчивости. В своих работах он также предложил показатели устойчивости и качества систем управления, имеющие простую связь с коэффициентами характеристического полинома. Вплоть до конца 70-х годов В.С. Воронов публиковал все свои работы в труднодоступных и малотиражных изданиях, поэтому иногда полученные им результаты приписывают другим авторам.
Простые критерии устойчивости и качества линейных систем
Будем предполагать, что все коэффициенты полинома имеют одинаковый знак (будем считать их положительными), что является простейшим необходимым условием устойчивости, сформулированным Стодолой.
Устойчивость и качество системы управления с характеристическим полиномом (1.2) можно оценить с помощью следующих показателей:
1. Приближенные сопрягающие частоты
(1.3)
2. Показатели (меры) качества
(1.4)
3. Показатели (меры) устойчивости
(1.5)
Значения (1.3) приближенно равны сопрягающим
частотам на участках, где определяющими
являются действительные корни,
соответствующие апериодическим звеньям.
Если Ω < 1.7 ... 2, то значение
приближает сопрягающую частоту на
участке, где определяющей является пара
комплексно-сопряженных корней,
соответствующих колебательному звену.
Используя метод математической индукции, В.С. Воронов в 1965 году доказал, что выполнение неравенств
(
1.6)
является необходимым условием устойчивости. С использованием показателей устойчивости условие (1.6) запишется в виде
(
1.7)
Невыполнение хотя бы одного из неравенств (1.7) является достаточным условием неустойчивости.
Выполнение необходимого условия устойчивости (1.7) еще не означает, что система будет устойчивой. Поэтому В.С. Воронов предложил также ряд достаточных условий устойчивости. Простейшее из них имеет вид
(
1.8)
Из (1.5) следует, что условие (1.8) будет всегда выполняться, если показатели качества удовлетворяют ограничениям
(
1.9)
Таким образом, (1.9) является достаточным условием устойчивости, сформированным по показателям качества.
На практике обычно требуют, чтобы система обладала некоторым запасом устойчивости и качества, поэтому наряду с условиями (1.8), (1.9) в [1] было предложено условие устойчивости с запасом
(
1.10)
и условие устойчивости и качества (качественной устойчивости)
(
1.11)
В.С. Воронов показал также, что если все Ωk ≥ 4 , то все корни полинома будут вещественными.
Выводы
Существует связь между показателями Ωk, Wk и расположением на комплексной плоскости корней характеристического полинома. Выполнение неравенства Ωk < 1.7 , как правило, свидетельствует о наличии пары комплексно сопряженных корней, мнимая часть которых значительно превышает вещественную часть. В этом случае переходный процесс содержит колебательную составляющую, частота которой приближенно равна . Если соответствующая пара корней имеет большую отрицательную действительную часть, что характерно для больших значений k, то эта составляющая быстро затухает и практически не оказывает влияния на переходный процесс.
Качество системы определяется, в первую очередь, первыми двумя или тремя значениями Ωk, поэтому при синтезе следует корректировать именно эти значения.
Определенные преимущества имеет задание равных или примерно равных значений Ωk.
Практическая рекомендация
П
ри
оценке в уме, навскидку качества САР,
заданной передаточной функцией, для
упрощения вычислений полезно преобразовать
условие
к виду
В этом случае потребуется проверить, больше ли квадрат центрального члена каждой тройки соседних коэффициентов характеристического полинома, чем удвоенное значение произведения крайних ее членов.
Условия устойчивости
удобно проверять, сравнивая произведение внутренних членов каждой четверки соседних коэффициентов с произведением ее крайних членов:
Можно сказать, что выражения неявно задают скорость уменьшения коэффициентов характеристического полинома с увеличением их индексов, при которой САР устойчива и обладает хорошим качеством.
Более того, этими неравенствами определяется коридор, в случае попадания в который всех коэффициентов, САР имеет хорошее качество. Тем самым можно определить допуски на возможные изменения коэффициентов полинома, сохраняющие качество САР в заданных пределах.