Модели оптимального раскроя промышленных материалов

Из стандартных единиц материала необходимо получить какие-нибудь заготовки. Задача состоит в определении технологически возможных вариантов раскроя стандартных единиц материала для получения максимального количества комплекта заготовок.

Цель: минимум расхода материалов.

Постановка задачи: на раскрой поступает материал заданных размеров, определенного качества, в количестве А шт. (ед.). Требуется получить несколько видов заготовок, удовлетворяющих условиям комплектности: (b₁, b₂, … b_k, ... b_r) – комплект, где b_k – удельный вес k-той заготовки в общем объеме или количество k-тых заготовок в комплекте. Заготовки можно получать различными способами: 1, 2,…, i,…, m – варианты получения заготовок из единицы материала.

Так как способ раскроя задан, то мы знаем количество заготовок: a_ik – количество k-тых заготовок, полученных из единицы материала при i-ом способе раскроя.

Требуется раскроить имеющийся материал так, чтобы получить максимум комплектов заготовок.

Пусть x_i - количество единиц материала, раскроенного i-ым способом.

Пусть z - количество комплектов.

Модель 1: F = z  max (1)

Всего затраты материалов (2)

(3) - количество k-тых заготовок, полученных из всех листов всеми способами

k =

x_i  0

Модель 2: пусть задан план получения заготовок: В₁, В₂, ... В_r. Требуется так раскроить материал, чтобы получить минимальные затраты.

F =  min

, k = ;

x_i  0.

Модель 3: на раскрой (распил) поступает несколько видов материалов, вид отличается только размером. Задано количество материала: 1, 2,…, j,…, n – виды материала, А_j – количество материала каждого вида. Из этого материала необходимо получить заготовки: 1, 2,…, k,…, r – виды заготовок, которые должны удовлетворять условию комплектности: (b₁, b₂,…, b_k,…, b_r) – комплект; i – способ раскроя; i = .

Если задан вариант раскроя единицы материала, то известно a_{ik j} - количество k-тых заготовок, полученных из единицы j-того материала, при i-том способе.

Требуется: раскроить имеющийся материал с целью получения максимального количества комплектов заготовок; х_ij – количество единиц j-того материала, раскроенного i-тым способом, z - количество комплектов.

F = z  max

, j =

, k =

x_ij  0.

Модель 4: задан план получения заготовок B₁, B₂,…, B_k,…, B_r, его необходимо выполнить с наименьшими затратами.

F =  min

, j = .

, k =

x_ij  0.

В подобных задачах переменные всегда обозначают количество материала, раскроенного любым способом

ПРИМЕР:

Пусть на раскрой поступает материал заданных размеров 200  120 см в количестве 50 шт. необходимо получить заготовки трех видов: А (30  40 см), В (40  40 см), С (50  50 см). Условие комплектности (1; 3; 2). Цель оптимально раскроить имеющийся материал так, чтобы получить максимальное количество заготовок, удовлетворяющих условию комплектности.

Способы раскроя		Количество заготовок из единицы (аik)			Отходы, м^2
		А	В	С
х1 х2 х3 х4 х5	1 2 3 4 5	20 - - 5 11	- 15 - 5 -	- - 8 4 4	0 0 0,4 0 0,08

1 способ: 2 способ:

200

120

(4) 30 (3) 40

40 (5) 40 (5)

3 способ: 4 способ:

40 (5)

20 о с т а т о к

30

(2) 50 40

50 (4) 50

50 (4)

5 способ:

40 (5)

30

20

40 30 ост

50

50 (4)

х_i – количество листов, раскроенных i-тым способом;

z – количество комплектов.

Модель:

F = z  max

x₁ + х₂ + х₃ + х₄  50,

20  х₁ + 5  х₄ + 11 х₅  1  z – количество заготовок А

15  х₂ + 5  х₄  3  z – количество заготовок В

8  х₃ + 4  х₄ + 4  х₅  2  z – количество заготовок С,

х₁, …, х₅, z  0.