Многофакторные модели экономического развития

1. Производственные функции и функции производственных затрат;

2. Определение параметров многофакторных моделей;

3. Коэффициент множественной корреляции. Частный коэффициент множественной корреляции;

4. Понятие предельной эффективности ресурса и эластичности производства;

5. Линейные и степенные производственные функции;

6. Динамические производственные функции.

1. Производственные функции и функции производственных затрат.

Под производственной функцией понимается зависимость выпуска продукции от затрат различных ресурсов. Обозначим у – выпуск продукции. Ресурсы (фактор) – х₁, х₂, … х_m.

Т.е. мы будем строить зависимость у = f (х₁, х₂, … х_m). Эта функция является моделью предприятия, зависит от технологии предприятия, что влияет на соотношение затрат и выпуска продукции. Чтобы построить производственную функцию нужна статистика, наблюдения: i – номер наблюдения.

y_i x_1i, x_2i, … x_mi.

Таких наблюдений надо много, допустим n – штук (представительная статистика).

Производственная функция нужна для анализа и прогнозирования исследуемого показателя (выпуск продукции, например).

Факторы: труд, капитал, сырье, стоимость ОС. В качестве исследуемого показателя может быть – производительность труда.

Функция производственных затрат – это зависимость затрат какого-либо ресурса х_i =  (y₁, y₂, … y_m) от объемов выпускаемой продукции. Упрощенный вариант х_i =  (y₁) – наиболее простая модель – то зависимость с/с продукции от объема производства с =  (y), где с – с/с.

’ (y) = 0 (min с/с)

с

с =  (y)

c_min

y

y^* (min с/с)

2. Определение параметров многофакторных моделей.

При построении многофакторных моделей надо пройти следующие этапы:

1. постановка проблемы (производительность труда, прибыль…);

2. выбор ли определение факторов (этот процесс соединяет формальные и неформальные методы);

3. выбор вида функции и расчет параметров;

4. Оценка результатов;

5. Окончательный выбор функции.

Линейная зависимость: = а₀ + а₁  х₁ + а₂  х₂ + … + а_m  x_m (1). В данном случае используют метод наименьших квадратов. Строим уравнение регрессии (1), чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от вычисленных по уравнению регрессии была минимальной.

Функция будет зависеть от параметров:

F (a₀, a₁, … a_m) =  min

Берем частные производные:

,

Отсюда находим

……. параметры a₀, a₁, а₂ … a_m.

.

При исследовании многофакторных моделей в процессе исследования стараются уменьшить количество факторов. Желательно иметь два, три фактора.

Линейная зависимость от 2-х факторов: = а₀ + а₁  х₁ + а₂  х₂

i – номер наблюдения, i = ; у – объем производства

y_i , х_1i , х_2i – статистические данные для каждого наблюдения.

F (a₀, a₁, a₂) =  min

;

;

;

или

n  a₀ +  х_1i  a₁ +  х_2i  a₂ =  y_i,

 х_1i  a₀ +  (х_1i)²  a₁ +  х_1i  х_2i  a₂ =  y_i  х_i, (2)

 х_1i  a₀ +  х_1i  х_2i  a₁ +  (х_2i)²  a₂ =  y_i  х_i.

Из системы находим параметры.

ПРИМЕР:

Имеем десять однородных предприятий, хотим исследовать зависимость объема производства от количества рабочих и энерговооруженности.

Пусть линейная зависимость у = а₀ + а₁  х₁ + а₂  х₂, где у – объем производства, х₁ – численность рабочих, х₂ – энерговооруженность, n = 10.

Для того чтобы определить параметры необходима статистика:

уi, млн. руб	х1i, тыс. чел/дн	х2i, кв-ч	х1i  yi	х2i  yi			х1i  х2i
10	2	1	20	10	4	1	2
12	2	2	24	24	4	4	4
17	8	10	136	170	64	100	80
13	2	4	26	52	4	16	8
15	6	8	90	120	36	64	48
10	3	4	30	40	9	16	12
14	5	7	70	98	25	49	35
12	3	3	36	36	9	9	9
16	9	10	144	160	81	100	90
18	10	11	180	198	100	121	110
137	50	60	756	908	336	480	398

10  а₀ + 50  а₁ + 60  а₂ = 137

50  а₀ + 336  а₁ + 398  а₂ = 756

60  а₀ + 398  а₁ + 480  а₂ = 908

Отсюда а₀ = 9,39; а₁ = 0,13; а₂ = 0,62.

Производственная функция: у = 9,39 + 0,13  х₁ + 0,62  х₂ – характеризует общую тенденцию изменения объема выпуска от 2-х факторов. Эту модель можно использовать для анализа:

Для предприятия 1 подставим фактические значения х₁ и х₂ в функцию и найдем расчетное значение у, сравним его с уi. Если фактическое значение больше, то предприятие работает эффективно. Если меньше, то предприятие неправильно использует свои ресурсы.

Можно использовать для прогнозирования:

Пусть на следующий год для предприятия 1 будет известно значение х₁ и х₂, то мы можем сделать прогноз на следующий год. Гарантировать, что прогноз точный нельзя.

у_t = [  t_  ], где - значение прогноза, - стандартная ошибка.

; где k = 3 – число параметров, n = 10 – количество наблюдений.

Если же зависимость степенная: у = а₀  х₁^a1  х₂^a2

Чтобы использовать метод наименьших квадратов левую и правую части логарифмируем:

ln y = ln a₀ + a₁  ln x₁ + a₂  ln x₂ – получим линейную зависимость, для которой можно использовать формулу (2)

у_i x_1i x_2i

ln у_i ln x_1i ln x_2i

Можно прологарифмировать все статистические значения и подставить в зависимость. Вместо а₀ будет а₀’ = ln a₀, a₀ = .