- •Оглавление
- •5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •Упражнение 10
- •А. Чистый изгиб. Б. Поперечный
- •5.2. Поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балок
- •Упражнение 11
- •5.3. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •5.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по характерным точкам
- •5.5. Нормальные напряжения при изгибе
- •5.6. Расчеты на прочность при изгибе
- •6. Сложные виды деформированного состояния
- •6.1. Понятие о сложном деформированном состоянии
- •6.2. Понятие о теориях прочности
- •6.3. Пример расчета вала на совместное действие изгиба и кручения
- •7. Устойчивость сжатых стержней
- •7.1. Понятие о продольном изгибе
- •7.2. Предел применимости формула Эйлера. Эмпирические формулы для критических напряжений
- •Общие указания к выполнению расчётно-графической работы (ргр)
- •Задание 3 Расчет статически определимой балки на прочность при изгибе
- •Дано: 1) схемы балки –
- •Числовые данные к задаче задания 3
- •Список литературы
- •117997, Москва, Стремянный пер.. 36
5.6. Расчеты на прочность при изгибе
Проверку прочности и подбор сечений изгибаемых балок обычно производят исходя из следующего условия: наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях не должны превосходить допускаемых напряжений [] на растяжение и сжатие, установленных кормами или опытом проектирования для материала балки.
Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь, дерево), следует выбирать сечения, симметричные относительно нейтральной оси (прямоугольное, круглое, двутавровое), чтобы наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения были равны между собой. В этом случае условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид
| |mах = М mах / Wx []. (45)
Ниже приведены формулы для вычисления моментов сопротивления некоторых сечений. Для прямоугольника
Wх = (Jx/0,5h) = bh2/6. (46)
Для круга
Jx = d4/64; h = d; Wх = (Jx/0,5d) = d3/32; (47)
приближенно для круга можно считать Wх = 0,1d3.
Для кольца
Wх = (dн3/32)(1- 4),
где = dв/dн - отношение внутреннего диаметра кольца к наружному.
Для балок, изготовленных из материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (например, из чугуна), выгодны сечения, не симметричные относительно нейтральной оси. В этом случае прочность по нормальным напряжениям проверяют по формулам
р mах = Мmахур / Jx [р]; (48)
с mах = Мmахус / Jx [с],
где ури ус - расстояния от нейтральной оси х до наиболее удаленных точек в растянутой и сжатой зонах сечения; [р] и [с] - допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. Использование материала будет наилучшим, когда р mах = [р ], a с mах = [с ]; Для этого необходимо условие
ур /у = [р ]/ [с ], (49)
т. е. расстояния нейтральной оси от наиболее удаленных точек в растянутой и сжатой зонах сечения должны быть пропорциональны соответствующим допускаемым напряжениям.
Формула напряжений при изгибе выведена на основании закона Гука и потому справедлива только при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала балки.
С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно решать следующие три задачи.
1. Проверка прочности (проверочный расчет) производится в том случае, когда известны размеры сечения балки, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение []. При этом непосредственно используется условие (45).
2. Подбор сечения (проектный расчет) производится в том случае, когда заданы действующие на балку нагрузки, т.е. можно определить наибольший изгибающий момент | М |max и допускаемое напряжение [].
Решая неравенство (90) относительно Wх, получаем
Wх | М |max /[]. (50)
По необходимому моменту сопротивления Wх, задавшись формой сечения, подбирают его размеры.
Определение наибольшего допускаемого изгибающего момента производится в том случае, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение
Мmах []Wх. (51)
Наиболее выгодны такие формы сечений, которые дают наибольший момент сопротивления при наименьшей площади. Такому условию в первую очередь удовлетворяет двутавровое сечение, у которого почти весь материал отнесен от нейтральной оси к верхней и нижней полкам, что увеличивает момент инерции Jx, а соответственно и момент сопротивления Wx. Менее выгодно прямоугольное сечение; круглое сечение еще менее выгодно, так как оно расширяется к нейтральной оси. Полые сечения всегда выгоднее равновеликих им сплошных сечений.
Целесообразно применять сечения балок из прокатных профилей: двутавров, швеллеров и т. п. В сортаменте для этих профилей приводятся числовые значения всех необходимых геометрических характеристик. Различные варианты расчета балок на прочность показаны на примерах.
Пример 9. Наибольший изгибающий момент в поперечном сечении балки Мmах = 37,5 кНм. Подобрать сечение стальной балки в трех вариантах: а) прокатный двутавр; б) прямоугольник с отношением высоты к ширине h : b = 4 : 3; в) круг.
Определить отношение массы балок прямоугольного и круглого сечения к массе балки двутаврового сечения. Допускаемое напряжение [] = 160 МПа.
Решение. Требуемый момент сопротивления
Wх Мmах / [] = 37,5106/160 = 234103 = 234 мм2.
Подбираем сечение балки в трех вариантах.
1. Сечение - прокатный двутавр. По таблице ГОСТ 8239 - 72 подходит двутавровый профиль в № 20а. Его момент сопротивления Wx = 237 см3, площадь сечения А = 35,5 см2.
2. Сечение - прямоугольник с отношением сторон h : b = 4 : 3, для прямоугольника Wx = bh2/6; подставив сюда b = 0,75h и приняв равным требуемому значению, получим
Wx = bh2/6 = 0,75Wx = hh2/6 = h3/8 = 234 см2,
откуда
h = (2348)1/3 = 12,3 см; b= 3h/4 = 9,2 см.
Площадь сечения прямоугольника A2 = bh =12,39,2 = 113 см2.
3. Сечение - круг
Wx = 0,1d3 = 234 см3,
откуда
d = (234/0,1)1/3 = 13,4 см.
Площадь круглого сечения
а3 = d2/4 = 141 см2.
Отношение масс, равное отношению площадей сечений:
A2 / A1 = 113/35,5 = 3,18; A3 / A1 = 141/35,5 = 3,97.
Следовательно, балка прямоугольного сечения тяжелее двутавровой балки в 3,18 раза, а балка круглого сечения тяжелее двутавровой в 3,97 раза.
Упражнение 15
I. В каком из двух вариантов нагружения (рис. 55) двутавровая балка сможет выдержать большую силу F? Длина консолей l в обоих случаях одинакова.
А. По рис. 55, а. Б. По рис. 55, б. В обоих случаях балка может выдержать одинаковую нагрузку.
Рис. 55
2. Во сколько раз уменьшатся нормальные напряжения в прямоугольномсечении балки, если ее высота увеличится в два раза?
А. В два раза. Б. В четыре раза. В. В восемь раз.
3. По заданному изгибающему моменту при одинаковых допускаемых напряжениях были подобраны прямоугольные сечения балок в трех вариантах с разными соотношениями высоты h и ширины b; вариант I h : b = 2; вариант II h : b = 3; вариант III h : b - 2,5. Какая из балок будет иметь наименьшую массу?