6. Сложные виды деформированного состояния

6.1. Понятие о сложном деформированном состоянии

Сложное деформированное состояние возникает в тех случаях, когда элемент конструкции или машина подвергается одновре­менно нескольким простейшим нагружениям, рассмотренным в § 3.

В § 10 рассматривались заклепочные и шпоночные соедине-­ ния, в которых одновременно возникает срез и смятие и соответ-­ ственно действуют нормальные и касательные напряжения. В затянутых болтах также имеет место сложное деформирование, в них обнаруживается совместное действие растяжения от за-­ тяжки силой F и кручения от момента трения М_к. В связи с этим в болтах возникают нормальные напряжения от растяжения и касательные напряжения от кручения

s = F/A (52)

τ = M_к/W_p,

где А = pd²/4 - площадь сечения болта; W_p » 0,2d³ - поляр­ный момент сопротивления.

Нормальные напряжения распределены по сечению равно­мерно, а касательные достигают максимальных значений у кон­тура болта. Очевидно, периферийные точки болта находятся в наи­более опасном состоянии, особенно в связи с наличием концентра­ции напряжений в нарезке.

Другим примером сложного деформирования являются валы, которые работают на изгиб и кручение. При этом в поперечном сечении вала возникают нормальные и касательные напряжения. Возникающие от изгиба нормальные напряжения достигают мак­ симального значения в волокнах, наиболее удаленных от нейтраль­- ной оси:

σ = M_и/W, (53)

где М_и - изгибающий момент; W ≈ 0,1d³ - осевой момент со­противления сечения.

Максимальные касательные напряжения при кручении возни­кают в точках контура поперечного сечения

τ = M_к/W_p,

где W_p ≈ 0,2d³ - полярный момент сопротивления.

Так как W_p = 2W, то

τ = M_K/(2W).

Следовательно, в наиболее напряженных точках вала при сов­местном действии изгиба и кручения возникают нормальные и касательные напряжения. Встает вопрос, какое же из этих на­пряжений или какая их комбинация определяет прочность вала. Ответ на этот вопрос дают так называемые теории (или гипотезы) прочности.

6.2. Понятие о теориях прочности

Испытания материалов позволяют определить опасные, или пре­дельные, напряжения при каких-то простейших деформированных состояниях.

Механические испытания материалов можно осуществлять и при сложных видах деформированного состояния, но в этом слу­чае разрушение наступает при различных значениях силовых факторов в сечении и зависит от их соотношения. Действительно, при совместном действии изгиба и кручения вал может разру­шиться при большом изгибающем и малом крутящем моментах или, наоборот, разрушение может произойти при малом изгибаю­щем, но большом крутящем моментах. Каждому соотношению изгибающего и крутящего моментов соответствуют определенные значения напряжений, вызывающих разрушение вала. Определить опытным путем предельные или опасные напряжения для слож­ного напряженного состояния при всех возможных комбинациях силовых факторов невозможно из-за трудности постановки опы­тов и практически неограниченного объема испытаний. Появляется необходимость найти способ составления условий прочности при сложном напряженном состоянии, пользуясь пре­дельными напряжениями, полученными из опытов для простого напряженного состояния, например для растяжения. Эта задача может быть решена лишь на основании некоторых предположений (гипотез) о том, какой фактор вызывает появление опасного со­стояния.

Даже при осевом нагружении стержня таких факторов можно указать несколько. Можно полагать, что опасное состояние воз­никает при достижении нормальными напряжениями предела текучести или предела прочности. Можно также полагать, что опасное состояние возникает, когда наибольшее относительное удлинение достигает определенного значения. Возможно и третье предположение: появление опасного состояния связано с тем, что касательные напряжения достигают определенного значения. Возникновение опасного состояния можно связать также с дости­жением определенного значения энергии, накапливаемой в мате­риале при деформации. Для осевого растяжения или сжатия все высказанные гипо­тезы дают одинаковые результаты. Иначе обстоит дело в случае сложного напряженного состояния.

В зависимости от принятой гипотезы прочности определяют эквивалентное напряжение s_экв, которое можно сопоставить с напряжением при осевом нагружении. В соответствии с условием прочности эквивалентное напряжение не должно превышать до­ пускаемого напряжения для материала

s_экв £ [s]. (54)

На основе четырех указанных выше возможных критериев опасного состояния разработано четыре теории прочности. Для расчета валов на совместное действие изгиба и кручения применяют третью или четвертую теорию прочности. По третьей теории прочности эквивалентное напряжение вы­ числяют по формуле

s_экв = . (55)

По четвертой теории прочности формула для эквивалентного напряжения имеет несколько иной вид

s_экв = . (56)

В этих формулах s и t - нормальное и касательное напря­жения в опасной точке поперечного сечения бруса. При действии растяжения и кручения в болтах наибольшие значения напряжений определяют по формулам (32). Подставив эти значения в выражение эквивалентного напряжения, получим условия прочности в следующем виде:

по третьей теории прочности

s_экв = £ [s]; (57)

по четвёртой теории прочности

s_экв = £ [s] . (57а)

Как отмечалось выше, для валов при совместном действии изгиба и кручения наибольшие значения напряжений определяют по формуле (53). Подставив эти значения в выражение эквивалентного напряжения, получим условия прочности в сле­дующем виде:

по третьей теории прочности

s_экв = £ [s]; (58)

по четвертой теории прочности

s_экв = £ [s], (58а)

где W - осевой момент сопротивления сечения.

Из приведенных условий прочности для вала вытекают следу­ющие зависимости для определения требуемого момента сопро­тивления:

по третьей теории прочности

; (59)

по четвертой теории прочности

; (60)

По найденному значению W и принятому виду сечения (круг или кольцо) вычисляют необходимый диаметр вала. Стоящие в числителях формул (59) и (60) выражения носят название эквивалентных моментов. Формулы для вычисления эквивалент­ных моментов имеют вид:

по третьей теории прочности

М_ЭКВ = ; (61)

по четвертой теории прочности

М_ЭКВ = . (62)

Расчетным, или опасным, сечением является то, в котором возникают максимальные изгибающий и крутящий моменты. Иногда приходится проводить расчет для нескольких сечений, так как в общем случае максимальные изгибающий и крутящий моменты возникают в различных поперечных сечениях вала.